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2020内蒙古国家电网考试行测数量关系之牛吃草问题最全解读

来源:长理职培发布时间:2019-11-14 15:25:29

  牛吃草问题即牛顿问题,因由牛顿提出而得名。英国著名的物理学家牛顿曾编过这样一道数学题:牧场上有一片青草,每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃,可以吃22天,或者供给16头牛吃,可以吃10天,如果供给25头牛吃,可以吃几天?典型的牛吃草问题的条件是假设草在不断生长且生长速度固定不变,牛在不断吃草且每头牛每天吃的草量相同,供不同数量的牛吃,需要用不同的时间,给出牛的数量,求时间。由于牛在吃草的过程中,草是不断生长的,所以解决此问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的,新长的草虽然在变化,但由于是匀速生长,所以每天新长出的草量应该是不变的。利用这些不变量,我们解决牛吃草问题时可将其转化为相遇或追及模型来考虑。

  一、牛吃草问题的基本题型

  (一)追及—— 一个量使原有草量变大,一个量使原有草量变小

  原有草量=(牛每天吃掉的草-每天生长的草) 天数

  例:牧场上一片青草,每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天,或者可供15头牛吃10天。问:可供25头牛吃几天?按照公式,设每头牛每天吃的草量为“1”,每天生长的草量为X,可供25头牛吃T天,所以(10-X) 20=(15-X) 10=(25-X) T,先求出X=5,再求得T=5。

  (二)相遇—— 两个量都使原有草量变小

  原有草量=(牛每天吃掉的草+其他原因每天减少的草量) 天数

  例:由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天,或可供15头牛吃6天。照此计算,可供多少头牛吃10天?

  解析:牛在吃草,草在匀速减少,所以是牛吃草问题中的相遇问题,原有草量=(牛每天吃掉的草+每天减少的草) 天数,设每头牛每天吃的草量为“1”,每天减少的草量为X,可供Y头牛吃10天,所以(20+X) 5=(15+X) 6=(Y+X) 10,先求出X=10,再求得Y=5。

  二、牛吃草问题的升级版题型

  牛吃草问题出了以上两种基本模型,在此基础上还有一些其他的变形。

  (一)极值型牛吃草问题

  题目与标准牛吃草中的追及问题相同,只是题目的问法进行了改变,问为了保持草永远吃不完,那么最多能放多少头牛吃。

  例:牧场上一片青草,每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天,或者可供15头牛吃10天。问为了保持草永远吃不完,那么最多能放多少头牛?

  解析:牛在吃草,草在匀速生长,所以是牛吃草问题中的追及问题,原有草量=(牛每天吃掉的草-每天生长的草) 天数,设每头牛每天吃的草量为“1”,每天生长的草量为X,(10-X) 20=(15-X) 10,求得X=5,即每天生长的草量为5,要保证永远吃不完,那就要让每天吃掉的草量等于每天生长的草量,所以最多能放5头牛。

  (二)多个草场牛吃草问题

  多个草场的牛吃草问题,是不同的牛数在不同的草场上的几种不同吃法,其中每头牛每天吃草量和草每天的生长量,两个量是不变的。我们可以通过最小公倍数法即通过寻找多个草场面积的“最小整数倍”,然后将所有面积都转化为“最小公倍数”,同时对牛的头数进行相应变化,然后进行解答。这样就变成了在相同面积草场的牛吃草问题,那么就可以直接使用牛吃草问题公式进行解答了。

  例:20头牛,吃30公亩牧场的草15天可吃尽,15头牛吃同样牧场25公亩的草,30天可吃尽。请问几头牛吃同样牧场50公亩的草,12天可吃尽?

  解析:取30、25和50的公倍数300,所以原题等价于“300亩的牧场可供200头牛吃15天,可供180头牛吃30天,那么可供多少头牛吃12天”,设每头牛每天吃草量为1,草长的速度是x,300亩的草可供n头牛吃12天,那么有(200-x)×15=(180-x)×30=(n-x)×12,解得x=160,n=210,210÷6=35,所以35头牛吃同样牧场50公亩的草,12天可吃尽。

  考生只要掌握了以上解答技巧,再碰到任何牛吃草问题就不再是问题。

责编:李思

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