2000考研数一真题及答案

2000 考研数一真题及答案 一、填空题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分，把答案填在题中横线上) (1) 1 2x  x 2 dx   0 (2) 曲面 x 2  2 y 2  3z 2 21 (3) 微分方程 xy " 3 y ' 0 在点 1, -2, 2 的法线方程为   的通解为 1   x1   1  1 2  (4) 已知方程组 2 3 a  2   x   3  无解，则 a     2    1 a  2   x3   0  (5) 设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 A 不发生的概率相等，则 P ( A) 1 , A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 9 = 二、选择题(本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设 f ( x ), g ( x ) 是恒大于零的可导函数，且 f '( x ) g ( x)  f ( x) g '( x)  0, 则当 a  x b 时，有 ( ) (A) (C) (2) 设 (B) f ( x ) g (b)  f (b) g ( x ) (D) f ( x ) g ( x )  f (b) g (b) S : x 2  y 2  z 2 a 2 ( z 0), S1 为 S f ( x ) g (a )  f (a ) g ( x ) f ( x ) g ( x )  f ( a ) g (a ) 在第一卦限中的部分，则有 ( ) (A) xdS 4xdS (B) ydS 4xdS (C) zdS 4xdS (D) xyzdS 4xyzdS S S1 S (3) 设级数 S1  u n S S1 S S1 收敛，则必收敛的级数为 ( ) n 1 (A)     1 n 1 n un . n (4) 设 维列向量组 n (B)   un 2 . n 1 (C)   (u2n 1  u2n ). n 1 (D)   (u n  un 1 ). n 1 1 , ,  m (m  n) 线性无关，则 n 维列向量组 1 , ,  m 线性无关的充 分必要条件为 ( ) (A) 向量组 1 , ,  m 可由向量组 1 , ,  m 线性表示. (B) 向量组 1 , ,  m 可由向量组 1 , ,  m 线性表示. (C) 向量组 1 , ,  m 与向量组 1 , ,  m 等价. (D) 矩阵 A   , ,  与矩阵 B   , ,  等价.  1  1 m m (5) 设二维随机变量 X , Y 服从二维正态分布，则随机变量   X  Y 与  X  Y 不相   关的充分必要条件为 ( ) (A) E ( X ) E (Y ). (B) E ( X 2 )  E ( X ) 2 E (Y 2 )  E (Y ) 2 .     (C) E ( X 2 ) E (Y 2 ). (D) E ( X 2 )  E ( X ) 2 E (Y 2 )  E (Y ) 2 .     三、(本题满分5分) 1   x 2  e sin x  求 lim   . 4 x 0  x   1 e x   四、(本题满分6分) 设 z  f  xy , x   g  x  , 其中 f 具有二阶连续偏导数， g 具有二阶连续导数，求     y   y 2 z . xy 五、(本题满分6分) 计算曲线积分 I  xdy  ydx 其中 是以点 , 1, 0  为中心， R 为半径的圆周  R >1 ，  L 2 2 y  4 x L 取逆时针方向. 六、(本题满分7分) 设对于半空间 x  0 内任意的光滑有向封闭曲面 S , 都有 xf ( x)dydz  xyf ( x)dzdx  e 2x zdxdy 0, S 其中函数 f ( x) 在 (0, +) 内具有连续的一阶导数，且 lim f ( x) 1, = 求 f ( x) .  x 0 七、(本题满分6分) 求幂级数 1 x n 的收敛区域，并讨论该区间端点处的收敛性.  n n n n 1 3  (  2)  八、(本题满分7分) 设有一半径为 到 P0 R 的球体， P0 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点 距离的平方成正比(比例常数 k 0 )，求球体的重心位置. 九、(本题满分6分) 设函数 f ( x ) 在  0,   上连续，且 内至少存在两个不同的点   0 0  f ( x)dx 0, f ( x) cos xdx 0, 试证：在 (0,  ) 1 ,  2 , 使 f (1 )  f ( 2 ) 0. 十、(本题满分6 分) 1 0 0 1 设矩阵 A 的伴随矩阵 A*  1 0  0  3 0 0 1 0 0 0  , 且 ABA 1 BA 1  3E , 其中 E 为4 阶单 0  8 位矩阵，求矩阵 B . 十一、(本题满分8分) 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 1 熟练工支援 6 其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及实践至年终 考核有 2 成为熟练工.设第 n 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 xn , yn 记 5 成向量  xn  . (1) 求  xn 1  与  xn  的关系式并写成矩阵形式：  xn 1   A  xn  ;            yn   yn 1   yn   yn 1   yn  (2) 验证  4   1 是 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； 1   ,2   A 1  1   1 x x1   2   (3) 当     时，求  n 1  .  y1   1   yn 1   2  十二、(本题满分8分) 某流水生产线上每个产品不合格的概率为 p 0  p  1 ,各产品合格与否相互独立，当   出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了产品的个数为 X , 求 X 的数学期望 E X 和方差 D X .     十三、(本题满分8分) 设某种元件的使用寿命  2e X 的概率密度为 f ( x; )  0,  2( x   ) , x  x  其中  0 计值. 参考答案 为未知参数，又设 x1 , x2 , , xn 是 X 的一组样本观测值，求参数 的最大似然估 