2001考研数学一真题及答案

2001 考研数学一真题及答案 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中 横线上.) (1)设 ( 为任意常数）为某二阶常系 y e x (C1 sin x  C2 cos x ) C1 , C2 数线性齐次微分方程の通解,则该方程为_____________. (2)设 r  x2  y2  z2 ,则 div(gradr) =_____________. (1,  2 , 2 ) (3)交换二次积分の积分次序: 0  1 1 y dy  2 f ( x, y ) dx ＝_________ ____. (4)设矩阵 A 满足 A2  A  4 E 0 ,其中 E 为单位矩阵,则 ( A  E ) 1 =_____________. (5) 设 随 机 变 量 X の 方 差 是 2 , 则 根 据 切 比 雪 夫 不 等 式 有 估 计 P{ X  E ( X ) 2}  _____________. y 二、选择题(本题共 5 小题,每小 题 3 分,满分 15 分.) (1)设函数 f (x ) 在定义域内可导 , O y  f (x ) の图形如右图所示, 则 y  f (x) (2)设 x の图形为 f ( x, y ) 在点 (0, 0) (A) d | . z (0,0) 3dx  dy 附近有定义,且 ,则 f x(0,0) 3, f y(0,0) 1 (B) 曲面 z  f ( x, y ) 在 (0, 0, f (0, 0)) 处の法向量为{3,1,1}. (C) 曲线  z  f ( x, y ) 在 处の切向量为{1,0,3}. (0, 0, f (0, 0))   y 0 (D) 曲线  z  f ( x, y ) 在 处の切向量为{3,0,1}. (0, 0, f (0, 0))  y  0  (3)设 f (0) 0 ,则 f (x) 在 x =0 处可导の充要条件为 1 f (1  e h ) 存在. h 0 h 1 (D) lim [ f (2h)  f ( h)] 存在. h 0 h 1 f (1  cosh) 存在. h 0 h 2 1 (C) lim 2 f (h  sinh) 存在. h 0 h (A) lim 1 1 (4)设 A  1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4  0 1 , B  0 1   1 0 (A) 合同且相似. (C) 不合同但相似. (B) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  ,则 A与B 0  0 (B) 合同但不相似. (D) 不合同且不相似. (5)将一枚硬币重复掷 n 次,以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上の 次数, 则 X 和 Y の相关系数等于 (A)-1. (B) 0. (C) 1 . 2 (D) 1. 三、(本题满分 6 分) 求 . arctan e x dx  e2x 四、(本题满分 6 分) 设 函 数 z  f ( x, y ) 在 点 (1,1) 处 可 微 , 且 f (1,1) 1 , f |(1,1) 2 , x f |(1,1) 3 ,  ( x)  f ( x, y f ( x, x)) .求 d 3  ( x) dx x 1 . 五、(本题满分 8 分) 设 f (x ) =   1 x 2 x  arctan x, x 0, 将 f (x) 展开成 x 0, 1, x の幂级数,并求 (  1) n の和.  2 n 1 1  4n 级数  六、(本题满分 7 分) 计算 I  ( y 2  z 2 )dx  (2 z 2  x 2 ) dy  (3 x 2  y 2 ) dz ,其中 是平 L  L 面 x  y  z 2 与柱面 x  y 1 の交线,从 Z 轴正向看去, L 为逆时针方 向. 七、(本题满分 7 分) 设 f (x ) (1)对于 f (0) + 在 ( 1,1) ( 1,1) 内具有二阶连续导数且 内の任一 xf ( ( x ) x ) x 0 f ( x) 0 ,存在惟一の ,试证:  ( x )  (0,1) ,使 f (x ) = 成立; 1 2 (2) lim  ( x)  . x 0 八、(本题满分 8 分) 设有一高度为 z h(t )  ( 为时间)の雪堆在融化过程 ,其侧面满足方程 h(t ) t 2( x 2  y 2 ) (设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减 h(t ) 少の速率与侧面积成正比(比例系数为 0.9),问高度为 130(厘米)の雪堆全 部融化需多少小时? 九、(本题满分 6 分) 设  1 , 2 , ,  s 为 线 性 方 程 组 Ax 0 の 一 个 基 础 解 系 , 1 t11  t2 2 ,  2 t1 2  t 2 3 , ,  s t1 s  t21 , 其 中 t1 , t 2 为 实 常 数 . 试 问 t1 , t 2 满 足 什 么 条 件 时 ,  1 ,  2 ,,  s 也为 Ax 0 の一个基础解系. 十、(本题满分 8 分) 已知 3 阶矩阵 A 与三维向量 x ,使得向量组 x, Ax, A2 x 线性无关,且满 足 A 3 x 3 Ax  2 A 2 x . (1)记 P =（ x, Ax, A 2 x ）,求 3 阶矩阵 B ,使 A PBP  1 ; (2)计算行列式 A  E . 十一、(本题满分 7 分) 设某班车起点站上客人数 X 服从参数为  (   0 )の泊松分布,每位 乘客在中途下车の概率为 ( ),且中途下车与否相互独立.以 表 p 0  p 1 Y 示在中途下车の人数,求: (1)在发车时有 n 个乘客の条件下,中途有 m 人下车の概率; (2)二维随机变量 ( X ,Y ) の概率分布. 十二、(本题满分 7 分) 设总体 样本 X 服从正态分布 ( N ( , 2 )   0 ),从该总体中抽取简单随机 , , ( ), 其 样 本 均 值 为 X 1 , X 2  X 2n n 2 X  n Y  ( X i  X n i  2 X ) 2 の数学期望 E (Y ) . i 1 1 2n Xi ,求统计量  2n i 1 参考答案 一、填空题 (1)【分析】 由通解の形式可知特征方程の两个根是 r1 , r2 1 i ,从而得 知特征方程为 (r  r1 )(r  r2 ) r 2  (r1  r2 )r  r1r2 r 2  2r  2 0 由此,所求微分方程为 y ''  2 y '  2 y 0 . (2)【分析】 先求 gradr. gradr=  r r r  x y z.  , ,   , ,   x y z   r r r  x  y  z ( ) ( ) ( ) x r y r z r 再求 divgradr=  = 1 x2 1 y2 1 z2 3 x2  y2  z2 2 . (  3 )(  3 )(  3 )    r r r r r r r r3 r 于是 divgradr| (1,  2,2) = 2 2 |(1, 2,2)  . r 3 (3)【分析】 这个二次积分不是二重积分の累次积分,因为 0 2 1 1 y  1  y 0 时 1  y 2 .由此看出二次积分  dy  f ( x, y )dx 是二重积分の一个累次 积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为 0 2 1 1 y  dy  f ( x, y )dx f ( x, y )dxdy . D 由累次积分の内外层积分限可确定积分区域 D : .