2001考研数学二真题及答案

2001 考研数学二真题及答案 一、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分．把答案填在题中横线上．） （1） lim 3  x  1  x ＝______． x 2  x 2 【答案】 2 6 x 1  【考点】洛必达法则 【难易度】★★ 【详解】解析：方法一： lim x 1 1 1 3  x  1 x 2(1  x) 1 2  lim lim   . 2 x 1 x  2 x  1 2 x x 2 ( x  1)( x  2) 3  x  1  x 6 方法二：使用洛必达法则计算 1 1 1 1     3  x  1 x lim 2 2 2 2  2 . 2 3  x 2 1 x  x 1 x 2  x  2 lim 3 6 2 x1 x 1 （2）设函数 y  f (x ) 由方程 e 2 x  y  cos( xy ) e  1 所确定，则曲线 y  f (x ) 在点 (0,1) 处的法线方程为______． 【答案】 x  2 y  2 0 【考点】隐函数的导数、平面曲线的法线 【难易度】★★ 【详解】解析：在等式 e 2 x  y  cos( xy ) e  1 两边对 x 求导,得 e 2 x  y (2  y ')  sin( xy ) ( y  xy ') 0, 1 2 将 x 0, y 1 代入上式,得 y '(0)  2. 故所求法线方程为 y  1  x, 即 x−2y+2=0. （3） π 2 π  2  (x 3  sin 2 x) cos 2 xdx ＝_______． 【答案】  8 【考点】定积分的换元法 【难易度】★★ 【详解】解析：由题干可知，积分区间是对称区间，利用被积函数的奇偶性可以简化计算. 在区间 [  故  2   2   , ] 上, x 3 cos 2 x 是奇函数, sin 2 x cos 2 x 是偶函数, 2 2   x 3   sin 2 x  cos 2 xdx 2  x 3 cos 2 x  sin 2 x cos 2 x  dx 2   （4）过点 1 ( 2 ,0) yarcs in x  y 1 x 2 1 1 2 【考点】一阶线性微分方程 【难易度】★★ 【详解】解析：方法一: 原方程 y 'arcsin x  两边直接积分,得 y 1 x 2 1 可改写为  y arcsin x  ' 1, y arcsin x  x  C 1 2 又由 y ( ) 0, 解得 C  1 . 2 故所求曲线方程为： y arcsin x  x  1 . 2 方法二: 将原方程写成一阶线性方程的标准形式 y ' 1 2 1  x arcsin x y 2 1 2   (1  cos 4 x )dx  .   8 2 8 且满足关系式 【答案】 y arcsin x  x   2 1 2 sin 2 xdx 4 1 . 解得 arcsin x 的曲线方程为______． 1 1  1 x2 arcsin x dx   1 x2 arcsin x dx  1 y e e dx  C   arcsin x   1   e  ln arcsin x  C   eln arcsin x dx  arcsin x   1  (C  x), arcsin x  1 2 又由 y ( ) 0, 解得 C  1 . 2 故曲线方程为： y arcsin x  x  a （5）设方程  1   1 1 a 1 1 . 2 1   x1  1   1   x2  1   a   x3      有无穷多个解，则 a＝______．  2 【答案】  2 【考点】非齐次线性方程组解的判定 【难易度】★★ 【详解】解析：方法一: 利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有 1 a  2   a 1 1 1  1    A  1 a 1  1    0 a  1 1  a  3   1 1 a   2   0 1  a 1  a 2  1  2 a  1 1   0 a  1  0 0 a  2   3 ,  a  1   a  1  a  2   2  a  2   可见,只有当a =−2 时才有秩 r ( A) r ( A) 2  3, 对应方程组有无穷多个解. 方法二: 当系数矩阵的行列式不为零时,方程组有唯一解,因此满足题设条件的a 一定使系数行列式 a 1 1 为零,即有 1 a 1 ( a  2)( a  1) 2 0, 解得 a  2 或 a 1 . 1 1 a 由于答案有两个,应将其带回原方程进行检验.显然,当 a 1 时,原方程无解,因此只能是 a  2 . 二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分．每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．） （1）设 1, | x |1, f ( x )  0, | x | 1, 则 f { f [ f ( x)]} 等于（ ） （A）0． （B）1． （C） 1, | x |1,  0, | x | 1. （D） 0, | x |1,  1, | x | 1. 【答案】B 【考点】复合函数 【难易度】★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： 复合函数中，内层函数的值域是包含于外层函数的定义域。 解析：由题易知 f ( x) 1 ，所以 f [ f ( x )] 1 ， f { f [ f ( x )]}  f (1) 1 ，选 B. （2）设当 2 (e x  1) x 0 时， (1  cos x) ln(1  x 2 ) 高阶的无穷小，则正整数 （A）1． 【答案】B 【考点】无穷小量的比较 【难易度】★★ 【详解】解析：由题易知: 是比 n 等于（ （B）2． x sin x n 高阶的无穷小，而 x sin x n ） （C）3． （D）4． 是比 (1  cos x) ln(1  x 2 ) 0 x 0 x sin x n 1 2 2 1 4 x x x 2  lim 2 lim 0 x 0 x x n x  0 x1n  1 n  4  n3 lim （3）曲线 y ( x  1) 2 ( x  3) 2 （A）0． 的拐点个数为（ ） （B）1． （C）2． （D）3． 【答案】C 【考点】函数图形的拐点 【难易度】★★ 【详解】解析： y 2( x  1)( x  3) 2  2( x  3)( x  1) 2 y 2( x  3) 2  4( x  1)( x  3)  4( x  3)( x  1)  2( x  1) 2 2( x  3) 2  8( x  1)( x  3)  2( x  1) 2 y 4( x  3)  8( x  3)  8( x  1)  4( x  1) 24( x  2) 由 y 0 得， x 1 或 x 3 ，带入 y  0 ，故 f (x ) 有两个拐点. （4）已知函数 f (x ) f (1)  f (1) 1 在区间 (1   ,1   ) 内具有二阶导数， f (x) 严格单调减少，且 ，则（ ） （A）在 (1   ,1) 和 (1,1   ) 内均有 f ( x )  x ． n x （B）在 (1   ,1) 和 (1,1   ) 内均有 f ( x )  lim x ． x sin 0 x2 e 1 x x x1 n  lim 2 lim 2 0 x 0 0 x （D）在 (1   ,1) 内， f ( x )  x ，在 (1,1   ) 内， f x( x)  xx．  1 n  2 【答案】A  n 1 x 0 （C）在 (1   ,1) 内， f ( x )  x ，在 (1,1   ) 内， f ( x )n  x ． 【考点】函数单调性的判别 【难易度】★★★ 【详解】解析：令 因为在区间 F ( x )  f ( x)  x (1   ,1   ) 上， ，则 f (x ) F ( x)  f ( x)  1 严格单调减少， ，