2002考研数学三真题及答案

2002 考研数学三真题及答案 一、填空题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分，把答案填在题中横线上) n 1 2  n  2na  1     n(1  2a)  (1) 设常数 a  ，则 lim ln  (2) 交换积分次序： n  1 4 0 1  dy  f ( x, y)dx  12 dy 2 f ( x, y)dx  y 1  (3) 设三阶矩阵 A  2 3  a 1 y . . y 4 2  2  T 1 2  ，三维列向量   a,1,1 .已知 A 与  线性相关，则 0 4  . (4) 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为 Y -1 0 1 0 0.07 0.18 0.15 1 0.08 0.32 0.20 X 则 X 2 和 Y 2 的协方差 cov( X 2 , Y 2 )  . (5) 设总体 X 的概率密度为 e  ( x   ) , 若x  , f ( x; )  若x   0, 而 X 1 , X 2 , , X n 是来自总体 X 的简单随机样本，则未知参数  的矩估计量为 二、选择题(本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数 f ( x ) 在闭区间 [ a, b ] 上有定义，在开区间 ( a, b) 内可导，则 ( (A)当 f (a) f (b)  0 时，存在   ( a, b) ，使 f ( ) 0 . (B)对任何   (a, b) ，有 lim[ f ( x)  f ( )] 0 . x  (C)当 f (a)  f (b) (D)存在   ( a, b ) 时，存在 ，使   ( a, b) ，使 f ( ) 0 f (b)  f ( a)  f ( )(b  a) . . ) (2) 设幂级数    an x 与 n  n 1 半径为 ( n 1 5 3 (B) 是 m n 矩阵， A 2  5 与 1 ，则幂级数 a n x n 的收敛  2 3 3 i 1 b n ) (A) 5 (3) 设 bn x 的收敛半径分别为 n B (C) 1 (D) 1 3 5 是 n m 矩阵，则线性方程组 AB x 0 ( )   (A)当 n  m 时仅有零解 (C)当 m  n 时仅有零解 (B)当 n  m 时必有非零解 (D)当 m  n 时必有非零解 (4) 设 A 是 n 阶实对称矩阵， P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量  是 A 的属于特征值  的 特征向量，则矩阵 P  1 AP  (A) P  1  T (B) PT  属于特征值  的特征向量是 ( (C) P (D) P  1  (5) 设随机变量 X 和 Y 都服从标准正态分布，则 ( (A) (C) X Y X2 和 服从正态分布 Y2 都服从 2 (B) 分布 X 2 Y 2 (D) T  ) 服从 X 2 /Y 2  ) 2 服从 F 分布 分布 三、(本题满分 5 分) 2 x  u  求极限 0  0 arctan(1  t )dt  du lim x 0 x(1  cos x) 四、(本题满分 7 分) 设函数 u  f ( x, y , z ) 有连续偏导数，且 z  z ( x, y ) 由方程 xe x  ye y ze z 所确定，求 du . 五、(本题满分 6 分) 设 f (sin 2 x)  x 求 x ,  f ( x )dx . sin x 1 x 六、(本题满分 7 分) 设 物线 D1 是由抛物线 y 2 x 2 和直线 y 2 x 2 和直线 y 0 , x a x a, x 2 及 y 0 所围成的平面区域，其中 所围成的平面区域； 0a2 . D2 是由抛 (1)试求 D1 绕 轴旋转而成的旋转体体积 x (2)问当 为何值时， a V1  V2 V1 ； D2 绕 y 轴旋转而成的旋转体体积 V2 ； 取得最大值？试求此最大值. 七、(本题满分 7 分) 3 6 9 3n 3! 6! 9!  3n  ! (1)验证函数 y ( x ) 1  x   x  x    x       x    满足微分方程 y  y  y e x (2)利用(1)的结果求幂级数 x 3n 的和函数.  n 0  3n  !  八、(本题满分 6 分) 设函数 f ( x ), g ( x ) 在一点   [ a, b] ，使 在 [ a, b ] 上连续，且 g ( x)  0 b b a a .利用闭区间上连续函数性质，证明存  f ( x) g ( x)dx  f ( )  g ( x)dx . 九、(本题满分 8 分) 设齐次线性方程组  ax1  bx2  bx3    bxn 0, bx  ax  bx    bx 0,  1 2 3 n      bx1  bx2  bx3    axn 0, 其中 a 0, b 0, n 2 ，试讨论 a, b 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无 穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解. 十、(本题满分 8 分) 设 A 为三阶实对称矩阵，且满足条件 A2  2 A 0 ，已知 A 的秩 r ( A) 2 (1)求 A 的全部特征值 (2)当 k 为何值时，矩阵 A  kE 为正定矩阵，其中 E 为三阶单位矩阵. 十一、(本题满分 8 分) 假设随机变量 U 在区间  2, 2 上服从均匀分布，随机变量    1, 若U  1 -1, 若U 1 X  Y  1, 若U   1; 1, 若U  1; 试求：(1) X 和 Y 的联合概率分布；(2) D( X  Y ) . 十二、(本题满分 8 分) 假设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从指数分布，平均无故障工作的时间 E( X ) 为 5 小时.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2 小时便关机. 试求该设备每次开机无故障工作的时间 Y 的分布函数 F ( y) . 参考答案 一、填空题 1 1  2a 【详解】“ ln ” 里面为“ 1” 型，通过凑成重要极限形式来求极限， (1)【答案】 n  n  2na  1    1 lim ln  lim ln 1    n  n    n(1  2a )   n(1  2a )    1 1 lim ln  1   n   1  2a  n(1  2a )  (2)【答案】 1 2 0 n (1 2 a ) 1 n (1 2 a ) 1 2 a 1 1 ．  ln e  1  2a 1  2a x  dx 2 f ( x, y)dy x 【详解】画出与原题中二次积分的限所对应的积分区域 于是 1 4 0  dy  y y 1 2 1 4 1 2 y D1 与 D2 ，将它们的并集记为 f ( x, y )dx   dy  f ( x, y )dx f ( x, y )d ． 再将后者根据积分定义化为如下形式，即 x从0  1 D 1 ，y从x 2  x ，所以 2 x f ( x, y)d 2 dx 2 f ( x, y)dy. D 0 x (3)【答案】  1 【详解】 1  A  2 3  2  2  a   a      1 2   1   2a  3  , 0 4   1   3a  4  由于 A 与  线性相关，(两个非零向量线性相关，则对应分量成比例)，所以有 D ． a 2a  3 3a  4   ，得 2a  3 3a  4, a  1. a 1 1 或 A k , ( k 0)   a  a ka    3a  4       1   3a  4 k   a (两个非零向量线性相关，则其中一个可以由另一个线性表出) 即  2a  3  k  1  ，得   2a  3 k ，得 a  1.(k 1) (4)【答案】  0.02 ． 【详解】 X 2 、 Y 2 和 X 2 Y 2 都是 0  1 分布，而 0  1 分布的期望值恰为取 1 时的概率 p ． 由离散型随机变量 X 和 Y 的联合概率分布表可得 X 2 的可能取值为 0 和 1，且 Y 2 的可 能取值也为 0 和 1，且 X 和 Y 的边缘分布为 P  X 0 0.07  0.18  0.15 0.4 ； P  X 1 0.08  0.32  0.20 0.6 ； P  Y  1 0.07  0.08 0.15 ； P  Y 0 0.18  0.32 0.5 ； P  Y 1 0.15  0.20 0.35 ； 故有 P  X 2 0, Y 2 0 P  X 0, Y 0 0.18, P  X 2 0, Y 2 1 P  X 0, Y  1  P  X 0, Y 1 0.07  0.15 0.22, P  X 2 1, Y 2 0 P  X 1, Y 0 0.32, P  X 2 1, Y 2 1 P  X 1, Y  1  P  X 1, Y 1 0.08  0.20 0.28, 而边缘分布律： P  X 2 0 P  X 0 0.4 ， P  X 2 1 P  X 1 0.6 ， P  Y 2 0 P  Y 0 0.5 ， P  Y 2 1 P  Y  1  P  Y 1 0.15  0.35 0.5 所以， ( X 2 ,Y 2 ) 的联合分布及其边缘分布为 Y2 X2 0 1