2009考研数学二真题及答案

2009 考研数学二真题及答案 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）函数 f  x  x  x 3 的可去间断点的个数，则（ ） sin nx  A 1.  B  2.  C  3.  D  无穷多个. 【答案】C 【解析】 f  x  x  x3 sin  x 则当 x 取任何整数时， f x 均无意义   故 f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是 的解   x  x 3 0 x1,2,3 0, 1 x  x3 1  3x 2 1 lim  x  0 sin  x x  0  cos  x  3 2 x x 1  3x 2 lim lim  x  1 sin  x x  1  cos  x  3 2 x x 1  3x 2 lim  lim  x   1 sin  x x   1  cos  x  lim 故可去间断点为 3 个，即 （2）当 x 0  A 0, 1 时， f x  x  sin ax 与 g x  x 2 ln 1  bx 是等价无穷小，则（ ）       a 1, b  1 . 6  B 1 a 1, b  . 6  C  a  1, b  1 . 6  D  a  1, b  【答案】 A 【解析】 lim x 0 f ( x) x  sin ax, g ( x) x 2ln(1  bx) 为等价无穷小，则 f ( x) x  sin ax x  sin ax 1  a cos ax a 2 sin ax lim 2 lim 2 洛 lim 洛 lim x 0 g ( x) x  0 x ln(1  bx) x  0 x (  bx) x  0  3bx 2  6bx 1 . 6 a 2 sin ax a3  1 x 0 6b 6 b  ax a lim  a 3  6b 故排除 B, C 。 1  a cos ax 存在，蕴含了 1  a cos ax  0  x  0  故 a 1. 排除 D 。 x 0  3bx 2 另外 lim 所以本题选 A。 （3）设函数 z  f x, y 的全微分为 dz  xdx  ydy ，则点 0, 0 （ ）      A 不是 f  x, y  的连续点.  B  不是 f  x, y  的极值点.  C  是 f  x, y  的极大值点.  D  是 f  x, y  的极小值点. 【答案】  D 【解析】因 dz xdx  ydy 可得 z x  x, z y y 2 z 2 z 2 z 2 z A  2 1,B   0,C  2 1 x xy yx y 又在（0，0）处， z x 0, z 0 y AC  B 2 1  0 故（0，0）为函数 z  f ( x, y ) （4）设函数 f  x, y  连续，则 2 4 x 2 4 y  A 1 dx 1  C  1 dy 1 的一个极小值点 2 2 2 4 y  dx  f  x, y dy   dy  1 x 1 2 4 x y f  x, y  dy .  B  1 dx x f  x, y  dx .  D  . 1 dy y f  x, y dx 2 f  x, y  dx （ ） f  x, y  dy . 2 【答案】 C   【解析】 2 2 2 2  dx  f ( x, y)dy   dy  f ( x, y)dx 的积分区域为两部分： 1 x 1 x D1  ( x, y ) 1 x 2, x  y 2 ， D2  ( x, y ) 1  y 2, y  x 4  y 将其写成一块 D  ( x, y ) 1  y 2,1  x 4  y   故二重积分可以表示为 2 4 y  dy  f ( x, y)dx ，故答案为 C 1 1 （5）若 f  x 不变号，且曲线 y  f x 在点 1,1 上的曲率圆为 2 ，则 f x         x  y 2 2 在区间 1, 2 内（ ）    A 有极值点，无零点.  B  无极值点，有零点.  C  有极值点，有零点.  D  无极值点，无零点. 【答案】 B 【解析】由题意可知， | y '' |  3 2 2  (1  ( y ') ) 在 [1,2] 对于 上， f ( x) 是一个凸函数，即 f '( x )  f '(1)  1  0 而 ，即 f ( x) 单调减少，没有极值点。 ， （拉格朗日中值定理） f (1) 1  0 由零点定理知，在 [1,2] ，且在点 1 ，而 f '(1)  1 ，由此可得， f ''(1)  2 2 f (2)  f (1)  f '( )   1  (1,2) f (2)  0 f ''( x )  0 上， f ( x) 有零点。 故应选（B） （6）设函数 y  f x 在区间  1,3 上的图形为：     (1,1) 处的曲率 f ( x) O -2 0 -1 则函数 F  x   . 1 2 x 3 x  f  t  dt 的图形为（ ） 0 . f ( x) 1  A 0 -2 1  B 1 2 x 3 -1 . . 1 -1 2 3 x f ( x) 1  D 0 1 -1 f ( x) C 0 -2 1 2 3 x 0 -2 1 2 3 x -1 【答案】 D 【解析】此题为定积分的应用知识考核，由 x x0 y  f ( x) 所围的图形的代数面积为所求函数 ① x  0,1 时， F ( x) 0 ，且单调递减。   ② x  1, 2 时， F ( x) 单调递增。   ③ x  2,3 时， F ( x) 为常函数。   F ( x) 的图形可见，其图像与 轴及 x y 轴、 ，从而可得出几个方面的特征： ④ x   1, 0 时， F ( x ) 0 为线性函数，单调递增。   ⑤ 由于 F(x)为连续函数 结合这些特点，可见正确选项为 D 。 （7）设 A 、 B 均为 2 阶矩阵， 分块矩阵  0 B  A*，B* 分别为 A 、 B A  的伴随矩阵为（ ） 0   0  A .  *  2A 3B*   0   0  B .  *  3A 2B*   0   0 *  2B 3A*   0   D .   0 *  3B 2A*   0  C . 的伴随矩阵。若 A =2，B =3 ，则 【答案】 B 【解析】根据  1 1 CC   C E 若 C  C C , C  分块矩阵  0 B  0  B A  的行列式 0 0  B  A 0   0 B   0 6   1 A  2 A0  0 B 1  C C A  （  1）22 A B 2 3 6 即分块矩阵可逆 0 1 A  0  6   1 0 A 1  B 3   0    3A 0      0 1 B   6  1  0  A  A  1  B  B   0   2 B   0   1 0 0 （8）设 A，P 均为 3 阶矩阵， P 为 P 的转置矩阵，且 P AP=  0 1 0  ，若    0 0 2   T T ，则 P=（1， 2， 3），Q=（1+ 2， 2， 3）  2 1 0  A .  1 1 0   0 0 2   QT AQ  1 1 0  B  .  1 2 0   0 0 2   为（ ）