2009考研数学三真题及答案

2009 考研数学三真题及答案 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）函数 f ( x)   A . （2）当 x  x 3 的可去间断点的个数为：（ ） sin  x 1 x 0  B . 2 时， C . f ( x )  x  sin ax  A . a 1 ， b  1  B . 6  C  . a  1 ， b  与 1 6 3  D  .无穷多个 g ( x) x 2 ln(1  bx ) a 1 ， b  是等价无穷小，则（ ） 1 6  D  . a  1 ， b  1 6 sin t （3）使不等式  dt  ln x 成立的 x 的范围是（ ） 1 t  A . (0,1)  B  . (1,  )  C  . ( , ) 2 2 x  D  . ( , ) （4）设函数 y  f x 在区间  1,3 上的图形为：     f ( x) O -2 0 -1 则函数 F  x   . 1 2 3 x  f  t  dt 的图形为（ x ） 0 . f ( x) 1  A -1 1  B 0 -2 f ( x) 1 2 3 x 0 -2 -1 1 2 3 x . . f ( x) 1 C 1  D 0 -1 f ( x) 1 2 3 x 0 -2 1 2 3 x -1 （5）设 阵 A, B 均为 2 阶矩阵， 0 B  A , B* 分别为 A, B 的伴随矩阵，若 | A |2,| B |3 则分块矩 A  的伴随矩阵为（ ） 0   0 3B*   * 0   2A  A .   0 C .  *  2B  B . 3 A*   0   0  *  3A 2 B*   0   0  D .  *  3B 2 A*   0   1 0 0 （ 6 ） 设 A, P 均 为 3 阶 矩 阵 ， T 为 P 的 转 置 矩 阵 ， 且 P AP  0 1 0  ， 若 P    0 0 2   T P (1,  2 ,  3 ), Q (1   2 ,  2 ,  3 ) ，则 QT AQ 为（ ）  2 1 0  A .  1 1 0   0 0 2    1 1 0  B  .  1 2 0   0 0 2    2 0 0  C  .  0 1 0   0 0 2    1 0 0  D  .  0 2 0   0 0 2   （7）设事件 A 与事件 B 互不相容，则（ ）  A . P( AB) 0  C  . P( A) 1  （8）设随机变量 X  B . P( B) 与 Y 相互独立，且 P ( AB) P( A) P( B)  D  . P( A  B) 1 X 服从标准正态分布 N (0,1) ， Y 的概率分布为 1 P{Y 0} P{Y 1}  ，记 Fz ( Z ) 为随机变量 Z  XY 的分布函数，则函数 Fz ( Z ) 的间 2 断点个数为（ ）  A . 0  B . 1 C . 2  D . 3 二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） lim e  e x 0 3 （10）设 cos x 2 1 x  1 .  z ( x  e y ) x ，则 （11）幂级数 z  x (1,0) e n  ( 1) n n 的收敛半径为 x  n2 n 1  （12）设某产品的需求函数为 Q Q( P ) ,其对应价格 P 的弹性  p 0.2 ，则当需求量为 10000 件时，价格增加 1 元会使产品收益增加 元  3 0 0 （13）设  (1,1,1)T ,  (1,0, k )T ，若矩阵  T 相似于  0 0 0  ，则 k     0 0 0   (14)设 X1 ， X2 ,… Xn 是来自二项分布总体 本均值和样本方差，记统计量 T X  S 2 B (n, p) ，则 的简单随机样本， X 和 S 2 分别为样 ET  三、解答题：15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 9 分）求二元函数 f ( x, y )  x 2 2  y 2  y ln y 的极值。  （16）（本题满分 10 分） 计算不定积分 ln(1   1 x )dx ( x  0) x （17）（本题满分 10 分） 计算二重积分 ( x  D y )dxdy ，其中 D  ( x, y ) ( x  1)2  ( y  1) 2 2, y  x  .   （18）（本题满分 11 分） ① 证 明 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ， 若 函 数 f ( x ) 在 a,  b  上 连 续 ， 在  a, b  上 可 导 ， 则    a, b  ，得证 f (b)  f (a )  f ' ( )  b  a  . ②证明：若函数 f ( x) 在 x 0 处连续，在  0,   , (  0) 内可导，且 lim f ' ( x)  A ， x  0 则 f  ' (0) 存在，且 f ' (0)  A （19）（本题满分 10 分） . 设曲线 y  f ( x) y 0, x 1 及 ，其中 y  f ( x) x t (t  1) 是可导函数，且 f ( x)  0 .已知曲线 y  f ( x) 与直线 所围成的曲边梯形，绕 轴旋转一周所得的立体体积值是绕曲边 x 梯形面积值的  t 倍，求该曲线方程。 （20）（本题满分 11 分）  1  1  1   1     设 A=  1 1 1  , 1  1    0  4  2   2     ①求满足 A 2 1 ， A 23 1 的所有向量  2 ， 3 . ②对①中的任意向量  2 , 3 证明 1 ,  2 , 3 线性无关。 （21）（本题满分 11 分） 设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) ax12  ax 2 2  ( a  1) x32  2 x1 x3  2 x2 x3 ①求二次型 ②若二次型 f 的矩阵的所有特征值。 f ( x1 , x2 , x3 ) 的规范型为 y12  y12 ，求 a 的值。 （22）（本题满分 11 分） 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x, y ) e  x 0 0 yx 其他 ①求条件概率密度 f ( y x) Y X ②求条件概率 P  X 1 Y 1   （23）（本题满分 11 分） 袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以 X 、 Y 、 Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数。 ①求 P  X 1 Z 0  .   ②求二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率分布. 参考答案 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）函数 f ( x)   A . x  x 3 的可去间断点的个数为：（ ） sin  x 1  B . 2 C . 3  D  .无穷多个 【答案】C 【解析】 f  x  x  x3 sin  x 则当 x 取任何整数时， f x 均无意义   故 f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是 的解   x  x 3 0 x1,2,3 0, 1 x  x3 1  3x 2 1 lim  x  0 sin  x x  0  cos  x  3 2 x x 1  3x 2 lim lim  x  1 sin  x x  1  cos  x  3 2 x x 1  3x 2 lim  lim  x   1 sin  x x   1  cos  x  lim 故可去间断点为 3 个，即 （2）当 x 0 时， 0, 1 f ( x )  x  sin ax  A . a 1 ， b  1  B . 6  C  . a  1 ， b  与 1 6 g ( x) x 2 ln(1  bx ) a 1 ， b  是等价无穷小，则（ ） 1 6  D  . a  1 ， b  1 6 【答案】 A 【解析】 lim x 0 f ( x) x  sin ax, g ( x) x 2ln(1  bx) 为等价无穷小，则 f ( x) x  sin ax x  sin ax 1  a cos ax a 2 sin ax lim 2 lim 2 洛 lim 洛 lim x 0 g ( x) x  0 x ln(1  bx) x  0 x (  bx) x  0  3bx 2  6bx a 2 sin ax a3  1 x 0 6b 6 b  ax a lim  a 3  6b 故排除 B, C 。