2010考研数学一真题及答案

2010 考研数学一真题及答案 一、选择题 x  （ C） x2    x   ( x  a )( x  b)   （1）、极限 lim  A、1 B、 C、 e D、 ea  b eb  a 【详解】 x 2   x lim  e  lim x   ( x  a )( x  b) x    lim e   a  b  x ab  x    ( x  a )( x b )  x  e x x lim e   x2 x 1  ( x  a )( x b )    x   a  b  x 2  abx lim e ( x  a )( x b ) x  a b （2）、设函数 则   x2 ln   ( x  a )( x b )    z  z ( x, y ) ，由方程 确定，其中 F 为可微函数，且 ， y z F ( , ) 0 F2 0 x x z z  y （ B） u y A、 x B、 z C、  x 【详解】 等式两边求全微分得： D z ( F1u x  F2vx )dx  ( F1u y  F2v y )dy  ( F1u z  F2v z )dz 0 ， 所以有， z  F1u x  F2vx ， z  F1u y  F2v y ， x F1u z  F2vz 其中， u x  y F1u z  F2vz y 1 z 1 ， u y  ， u z 0 ， vx  2 ， v y 0 ， vz  ，代入即可。 2 x x x x （3）、设 m, n 是正整数，则反常积分 1m  ln 2 (1  x) n 0 x dx 的收敛性( D ) (A)仅与 m 的取值有关 (B)仅与 n 有关 (C)与 m, n 都有关 (D)都无关 【详解】：显然 1m  0 ln 2 (1  x ) n x 对于 x 0, x 1 1 m dx 2 0 1 m 2 0  ln 2 (1  x) n x 是两个瑕点，有 ln 2 (1  x) n x 1 m dx  1 2 ln 2 (1  x) n x dx dx 的瑕点 x 0 ，当 x  0 时 m ln 2 (1  x) n x 2 1  ln m (1  x) x n 等价于 1 2 m (  1) x 1 m 2 0  2 1  m n ， 而 ln 2 (1  x) n x 2 1 2 1  m n x  dx 收 敛 （ 因 m, n 是 正 整 数  m  n   1 ） ， 故 1 2 0 1 x  (1   ,1)(0    ) 时 2 显然收敛，故 （4）、 lim n  A、 C、 n 1 m  1 2 n i 1 j 1 2 2 j ) 1 2 ) dy 0 0 1 1 dy 0 (1  x )(1  y )  ln 2 (1  x) 1 2 1 n n x 2 m dx 的 瑕 点 1 n  2 ln (1  x)  2 (1  x) x 2 m ，而 x 1 ， 当 1 2 1 (1  x) m dx 2 dx 收敛。所以选择 D. n dx  (1  x)(1  y 1 dx  0 ln 2 (1  x) n x  (n  i)(n x m ln 2 (1  x) n 1 1 m dx 收 敛 ； 对 于 ( D ) B、 1 x 0 0 1 dx  (1  x)(1  y)dy D、 1 1 0 0 dx  1 dy (1  x)(1  y 2 ) 【详解】： n n n n 1 1 n 1 1 1  lim  1 dx 1   2 2 dy n  i j ( n  i )( n  j ) n n 2   j 1 i 1 0 0 (1  x )(1  y 2 ) (1  ) j 1 (1  ( ) ) n n lim   x  i 1 （5）设 A 为 m n 型矩阵，B 为 n m 型矩阵，E 为 m 阶单位矩阵，若 AB=E，则（ A） A、秩 r(A)=m, 秩 r(B)=m B、秩 r(A)=m, 秩 r(B)=n C、秩 r(A)=n, 秩 r(B)=m D、秩 r(A)=n, 秩 r(B)=n 【详解】  AB E  R ( AB ) m 又R ( AB ) m min(R ( A), R ( B )),即R(A) m, R ( B ) m 而R(A) m, R(B) m  R(A) m, R(B) m (6) 设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 1    1  A．    1   0  2 A2  A 0 ，若 A 的秩为 3，则 A 相似于 1    1  B.   1    0  （D） 1    1  C.   1    0  【详解】设 A 1    1  D.   1    0  的特征值为 r ，因为 A2  A 0 为所以  2   0 即  (  1) 0   0或  1 又 R(A) 3 ，A 必可相似对角化，且对角阵的秩也是 3.    1是三重特征根 1    1  A~  D   1  所以正确答案为（ ）   0   0  (7) 设随机变量 的分布函数 f ( x)  1 X   2x 1  e A．0 Ｂ. 1 C. 1 2 2 【详解】  e 1 D. x 0 0 x  1 ，则 {x=1}= x=1}= （C） x 1 1  e 1 P{x 1} F (1)  F (1  0) 1  e  1  1 1  1 .所以选 C  e 2 2 (8) 设 f ( x ) 为标准正态分布的概率密度， f ( x ) 为 [  1,3] 上的均匀分布的概率密度，若 1 2  af ( x) x 0 f ( x )  1 (a  0, b  0) 为概率密度，则 a, b 应满足：（A ） bf ( x ) x  0  2 A、 2a  3b 4 B、 3a  2b 4 【详解】由概率密度的性质    0 3  0 C、 a  b 1 D、 a  b 2 f ( x)dx 1 ，有 a  f1 ( x)dx  b  f 2 ( x )dx 1 1 3 a  b 1 2 4  2a  3b 4  所以选 A。 3 二、填空题 （9）、设 t t 2 x e , y ln(1  u )du , 0 2 求d y 2 d x 0 0  【详解】 dy y t  ln  1  t   dx x t   e t 2  d 2 y d  dy  d  dy  dt      dx 2 dx  dx  dt  dx  dx  ln  1  t 2   1     e  t  x t    2t  t e  ln  1  t 2  e  t 2 1  1  t  t 2 e  e t  2t e 2t (  ln(1  t 2 )) 2 1 t 故 d2y d 2x 0 0 （10）、 【详解】 2  0 2  0 令 x t , x cos xdx   4 x cos xdx  4 原式为         2  t 2 cos tdt 2 t 2 sin t |0   2t sin tdt  4  t sin tdt 4 t cos t |0   cos tdt  4 0 0 0 0 （11）、已知曲线 L 的方程为 y 1  x , x  [ 1,1], 起点是 (  1, 0), 终点是 (1, 0), 则曲线积 分  xydx  x dy 0 2 L 【详解】令 L :  x t  1 t 0 1   y 1  t 4  x t L2 :  0 t 1  y 1  t 2 xydx  x dy  xydx  x dy   xydx  x dy L 2 2 L1 L2 0 1  t  1  t   t 2 dt  t  1  t   t 2 dt 1 0 2 2 t   t 3   2 3 0 （12）、设 0 1  t2 2     t3  2 3  1 0  {( x, y, z ) x 2  y 2  z 1}, 则  的形心坐标 z 2 3 【详解】 zdxdydz  d rdr  zdz 3 2 z      3 dxdydz d  rdr dz     2  2 1 1 0 0  （13）设 2 1 r2 1 0 0 r2 1 (1, 2,  1, 0)T ,  2 (1,1, 0, 2)T ,  3 (2,1,1,  )T , 若由形成的向量空间维数是 2，则  6 【详解】由题意知向量组 R ( 1 , 2 , 3）2  1   2  1   0    1 1 2 1   1  r2  2 r1  0  0 1  r3 r1  0   0 2    6 0   6 （14）设随机变量 X 1 ,  2 ,  3 ，即 1 1 2  1    3  r3 r2  0  3  r4 2 r2  0   0    1 2 概率分布为 【详解】由概率密度的性质  P{ X k}  1 1 0 0 p{ X k }  2    3  0     6  ，则 2 C , k 0,1, 2, EX 2  K! C 1  C e  1 k 0 k !   P{ X k} 1 ，有  k 0 即 线性相关，而其中两个向量线性无关，所以 为参数为 1 的泊松分布，则有 e 1 , k 0,1, 2,  k! EX 1, DX 1  EX 2 DX  ( EX )2 2 三、解答题 5