2012考研数学二真题及参考答案

2012 考研数学二真题及参考答案 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）曲线 y x 2  x 渐近线的条数为（） x2  1 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】： C 【解析】： lim x 1 ，所以 为垂直的 x2  x x 1  2 x 1 ，所以 为水平的，没有斜渐近线 故两条选 x2  x y 1 C 1 2 x  x  1 lim （2）设函数 （A） （B） （C） （D） f ( x ) (e x  1)(e 2 x  2)  (e nx  n) ，其中 为正整数，则 n f ' (0)  ( 1) n  1 ( n  1)! ( 1) n (n  1)! ( 1) n  1 n ! ( 1) n n ! 【答案】： C 【解析】： f ' ( x) e x (e 2 x  2) (e nx  n)  (e x  1)(2e 2 x  2) (e nx  n)  (e x  1)(e 2 x  2) ( ne nx  n) 所以 f ' (0)  ( 1) n  1 n ! （3）设 an>0(n=1,2,…)，Sn=a1+a2+…an，则数列(sn)有界是数列（an）收敛的 (A)充分必要条件. (B)充分非必要条件. （C）必要非充分条件. （D）即非充分地非必要条件. 【答案】：(A)  【解析】：由于 a  0 ，则 n a n  为正项级数，Sn=a1+a2+…an 为正项级数 n 1 a n 的 n 1 前 n 项和。正项级数前 n 项和有界与正向级数  a 收敛是充要条件。故选 A n n1 （4）设 I k k  e x 2 e sinxdx(k=1,2,3),则有 D （A）I1< I2 0, f ( x, y ) <0,f(x1,y1) x2, y1< y2. (C) x1< x2, y1< y2. 【答案】：(D) 【解析】： f ( x, y ) x (B) x1> x2, y1>y1. (D) x1< x2, y1> y2. 0 ， f ( x, y ) y 变量 y 是单调递减的。因此，当  0 表示函数 f ( x, y ) 关于变量 x 是单调递增的，关于 x1  x2 , y1  y2 必有 f ( x1 , y1 )  f ( x2 , y2 ) ，故选 D  （6）设区域 D 由曲线 y sin x, x  , y 1, 围成，则   x 5 y  1dxdy ( 2 ( A) ( B ) 2 (C )  2 ( D)   ) 【答案】：（D） 【解析】： 由二重积分的区域对称性， x  5   1 y  1 dxdy 2 dx   2 sin x x 5 y  1dy   0 0  1   1       （7）设   0 ,   1 ,    1 ,   1  其中 c , c , c , c 为任意常数，则下列 1 2 3 4 1   2   3   4   c  c  c  c   1  2  3  4 向量组线性相关的是（ （A） 1 ,  2 ,  3 ） （B） 1 ,  2 ,  4 （C） （D） 1 ,  3 ,  4  2 , 3 , 4 【答案】：（C） 【解析】：由于   ,  ,   1 3 4 0 0 c1 1 1 1 1  1 1 c1 0 ，可知 1 ,  3 ,  4 线性相关。 1 1 c3 c4 故选（C） 1   ， （8）设 A 为 3 阶矩阵， P 为 3 阶可逆矩阵，且 P AP  ， 1   P  1 ,  2 ,  3   2   1 Q  1   2 ,  2 ,  3  则 Q  1 AQ （ 1   2  1  （A）     2    （C） 1     2   1 （B）     ）   1  2  2    （D） 2    1   【答案】：（B）  1 0 0  1 0 0    1 【解析】： Q P 1 1 0 ，则 Q   1 1 0  P  1 ，      0 0 1  0 0 1     故  1 0 0  1 0 0  1 0 0  1   1 0 0 1    1         Q AQ   1 1 0  P AP  1 1 0    1 1 0   1 1   1 1 0     0 0 1  0 0 1  0 0 1    0 0 1   2 2           1 故选（B）。 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）设 y  y ( x) 是由方程 【答案】： 2x e 1 y x 2  y  1 e y 所确定的隐函数，则 dy  dx ________。 【解析】：方程 x 2  y  1 e y 两 端 对 x 求 导 ， 有 2 x  dy dy e y dx dx ，所以 dy 2x  y dx e  1 1 1 1  ________。  2 …  2   2 2 2  1  n 2  n n  n   （10）计算 lim n  x  【答案】：  4 1 n  【解析】：原式 lim n  n i 1 1 1 dx  1   arctan x  . 2  1  x 2 0 4 i 1    n z z  1 ________。  f  ln x   ,其中函数 f (u ) 可微，则 x  y 2  x  y y   （11）设 z 【答案】： 0 . 【解析】：因为 z z  1  z 1 z 0.  f  ,  f   2  ，所以 x  y 2  x  y x x y y   （12）微分方程 【答案】： ydx  ( x  3 y 2 )dy 0 满足初始条件 y |x =1 的解为________。 x y2 【解析】： ydx  ( x  3 y 2 ) dy 0  dx 1 dx 1 3 y  x   x 3 y 为 一 dy y dy y 阶线性微分方程，所以 1 1 dy  1 1 y dy  3  2 y x e  3 y e dy  C    3 y dy  C  ( y  C ) y   y  又因为 y 1 时 x 1 ，解得 C 0 ，故 x  y 2 . （13）曲线 y x 2  x( x  0) 上曲率为 【答案】：  1, 0   2 的点的坐标是________。 2 【解析】：将 y’ 2 x  1, y ” 2 代入曲率计算公式，有 K 整理有 (2 x  1) 2 1 ，解得 | y |  (1  y2 )3/2 x 0或  1 ，又 2  1  (2 x 1) 2  x0 ，所以 3 2  2 2 x  1 ，这时 y 0 ， 故该点坐标为  1, 0   （14）设 矩阵 A 为 3 阶矩阵， A 3 , * 为 的伴随矩阵，若交换 的第一行与第二行得到 A A A * B ,则 BA ________。 【答案】：-27 【解析】：由于 所以， B E12 A ，故 BA* E12 A A* | A | E12 3E12 ， | BA* || 3E12 |33 | E12 |27*(  1)  27 . 三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分） 已知函数 f ( x)  1  x 1 ，记 a lim f ( x)  x 0 sin x x, （1）求 a 的值 （2）若当 x 0 时， f ( x)  a 是 xk 的同阶无穷小，求 k 1 1 x  sin x   1) lim 1 1 ，即 a 1 x 0 x  0 sin x x 0 x x2 1 1 x  sin x （2）,当 x  0 时，由 f ( x )  a  f ( x )  1    sin x x x sin x 【解析】：（1） lim f ( x) lim( 又因为,当 1 x  0 时， x  sin x 与 x3 等价，故 6 （16）（本题满分 10 分） 求 f  x, y  xe  【解析】： x 2  y 2 的极值。 2 f  x, y  xe  x2  y2 ， 2 f ( x)  a ~ 1 ，即 x k 1 6