2013考研数学一真题及参考答案

2013 考研数学一真题及参考答案 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. x  arctan x c ，其中 c, k 为常数，且 c 0 ，则（ ） x 0 xk 1 （A） k 2, c  2 1 （B） k 2, c  2 1 （C） k 3, c  3 1 （D） k 3, c  3 （1）已知极限 lim （2）曲面 （A） （B） （C） （D） x 2  cos( xy )  yz  x 0 在点 (0,1,  1) 处的切平面方程为（ ） x  y  z  2 x  y  z 2 x  2 y  z  3 x  y  z 0 （3）设 f ( x)  x   1 1 ， ，令 ， S ( x)  bn sin n x bn 2  f ( x)sin n xdx( n 1, 2,...) 0 2 n 1 9 ) （ ） 4 3 （A） 4 1 （B） 4 1 （C）  4 3 （D）  4 则 S ( （4）设 l1 : x 2  y 2 1, l2 : x 2  y 2 2, l3 : x 2  2 y 2 2, l4 : 2 x 2  y 2 2, 为四条逆时针的 3 3 6 3 平面曲线，记 I  ( y  y ) dx  (2 x  x ) dy (i 1, 2,3, 4) ，则 MAX ( I ) ( i i  li （A） （B） （C） （D） ) I1 I2 I3 I3 （5）设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若 AB C , 则B可逆，则 （A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 （B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 （C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 （D）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的列向量组等价  1 a 1   2 0 0 （6）矩阵  a b a  与  0 b 0  相似的充分必要条件为      1 a 1   0 0 0     （A） （B） （C） （D） a 0, b 2 a 0, b为任意常数 a 2, b 0 a 2, b为任意常数 （7）设 2 2 , X1，X 2，X 3 是随机变量，且 X 1 ~N(0,1)，X2 ~N(0, 2），X 3 ~ N (5,3 ) Pj P{ 2  X j 2}( j 1, 2,3), 则（ ） （A） （B） （C） （D） P1  P2  P3 P2  P1  P3 P3  P1  P2 P1  P3  P2 （8）设随机变量 X ~ t (n), Y ~ F (1, n), 给定 a (0  a  0.5), 常数 c 满足 P{ X  c} a ,则 （ ） P{Y  c 2 }  （A）  （B） 1   （C） 2 （D） 1  2 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. 1 n (9)设函数 f ( x) 由方程 y  x e x (1 y ) 确定，则 lim n( f ( )  1)  n  (10)已知 y1 e3 x  xe 2 x ， y2 e x  xe2 x ， y3  xe 2 x 程的 3 个解，该方程的通解为 y  ． (11)设  x sin t 2   y t sin t  cos t (12)   1 （ t 为参数），则 d y ln x dx  (1  x) 2 （13）设 dx 2  t 4  ． 是某二阶常系数非齐次线性微分方 ． ． A (a ij ) 是三阶非零矩阵， | A | 为 A 的行列式， Aij 为 a ij 的代数余子式，若 a ij  A ij 0(i, j 1, 2,3), 则 A ____ （ 14 ） 设 随 机 变 量 Y 服 从 参 数 为 1 的 指 数 分 布 , a 为 常 数 且 大 于 零 ， 则 ________。 P{Y a  1| Y  a}  三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分） 计算 x ln(t  1) f ( x ) 其中 dx , f ( x )  0 x 1 t dt 1 （16）（本题满分 10 分） 设数列 {an } 满足条件： a0 3, a1 1, an  2  n(n  1)an 0(n 2), S ( x) 是幂级数  a x n n 0 的和函数， （I） 证明： （II） 求 S ( x)  S ( x) 0 S ( x) 的表达式. （17）（本题满分 10 分） , n 求函数 f ( x, y ) ( y  x 3 x  y 的极值. )e 3 （18）（本题满分 10 分） 设奇函数 f ( x )在[ - 1, 1] 上具有 2 阶导数，且 f (1) 1, （I） 存在 （II） 存在   1,1 ，使得 f ''( )  f '( ) 1   证明：   (0,1), 使得f '( ) 1 （19）（本题满分 10 分） 设直线 L 过 所围成的立体为 z 0, z 2 （I） （II） A(1, 0, 0), B(0,1,1)  两点，将 L 绕 Z 轴旋转一周得到曲面 , 与平面 ， 求曲面  的方程 求  的形心坐标. （20）（本题满分 11 分） 设 A  1 a  , B  0    1  ，当 a, b 为何值时，存在矩阵 C 使得 AC  CA B ，并求所有   1 b 1 0  矩阵 C 。 （21）（本题满分 11 分） 设 二 次 型 2 2 f  x1 , x2 , x3  2  a1 x1  a2 x2  a3 x3    b1 x1  b2 x2  b3 x3  ， 记  a1   b1      a2  ,   b2  。 a  b   3  3 （I）证明二次型 （ II ） 若 2 y12  y22 ,  f 对应的矩阵为 2 T    T  ； 正交且均为单位向量，证明二次型 f 在正交变化下的标准形为二次型 。 （22）（本题满分 11 分） 1 2 x 设随机变量的概率密度为 f ( x )  4 0 （I）求 Y 的分布函数 （II）求概率 P{ X Y } 0  x  3 ，令随机变量 其他 2 x 1  Y  x 1  x  2 , 1 x 2  （23）（本题满分 11 分）  2  x 设 总 体 X 的 概 率 密 度 为 f  x   3 e , x  0, 其 中  为 未 知 参 数 且 大 于 零 ， x  0, 其它.  X 1 , X 2， X N 为来自总体 X 的简单随机样本. （1）求  的矩估计量； （2）求  的最大似然估计量. 2013 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题答案 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. x  arctan x c ，其中 c, k 为常数，且 c 0 ，则（ ） xk 1 （A） k 2, c  2 1 （B） k 2, c  2 1 （C） k 3, c  3 1 （D） k 3, c  3 （1）已知极限 lim x 0 【答案】D 【解析】 x  arctan x lim lim x 0 x 0 xk （2）曲面 （A） （B） x  (x  x 2  cos( xy )  yz  x 0 x  y  z  2 x  y  z 2 1 3 1 3 x  o( x 3 )) x 3 3 c, k 3, c 1  lim x 0 x k xk 3 在点 (0,1,  1) 处的切平面方程为（ ）