2016考研数学一真题及答案

2016 考研数学一真题及答案 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）若反常积分 1   a x 1 x 0 b dx 收敛，则（ ）  A a  1且b  1  B  a  1且b  1  C  a  1且a  b  1  D  a  1且a  b  1 2  x  1 , x  1 ，则 （2）已知函数 f  x    ln x, x 1  x  1 2 , x  1  A F  x    x  ln x  1 , x 1 f  x  的一个原函数是（ ）  x  1 2 , x  1  B  F  x    x  ln x  1  1, x 1  x  1 2 , x  1  x  1 2 , x  1  C  F  x    D  F  x    x  ln x  1  1, x 1  x  ln x  1  1, x 1 （3）若 y  1  x 2   2 2  1  x 2 , y  1  x 2   1  x 2 是微分方程 y  p  x  y q  x  的 两个解，则 q x （ ）    A 3x  1  x 2   B   3x  1  x 2   C  x 1  x2  D  x 1  x2  x, x 0 ，则（ 1 1 ,  x  , n  1, 2,   n n  1 n （4）已知函数 f x    1 （A） x 0 ） 是 f x 的第一类间断点 （B） 是 的第二类间断点   x 0 f  x  （C） f x 在   x 0 处连续但不可导 （D） f x 在   x 0 处可导 （5）设 A，B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是（ （A） AT 与 BT 相似 （B） A 1 与 B  1 相似 （C） A  AT 与 B  BT 相似 （D） A  A 1 与 B  B  1 相似 ） （6）设二次型 f x , x , x  x 2  x 2  x 2  4 x x  4 x x  4 x x ，则 f x , x , x 2  1 2 3 1 2 3  1 2 3 1 2 1 3 2 3 在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ） （A）单叶双曲面 （B）双叶双曲面 （C）椭球面 （C）柱面 （7）设随机变量   X ~ N  ,  2   0  ，记 （A） p 随着  的增加而增加 （C） p 随着  的增加而减少  p  P X    2  ，则（ ） （B） p 随着  的增加而增加 （D） p 随着  的增加而减少 1 ， 3 表示 2 次试验中 （8）随机试验 E 有三种两两不相容的结果 A1 , A2 , A3 ，且三种结果发生的概率均为 将试验 结果 E A2 独立重复做 2 次， 发生的次数，则 X X 与 表示 2 次试验中结果 Y 的相关系数为（ A1 发生的次数， Y ） 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. x （9） lim x 0 t ln1  t sin t dt __________ 0 1  cos x 2 （10）向量场 A x, y, z   x  y  z i  xyj  zk 的旋度 rotA _________ （ 11 ） 设 函 数 dz  0 ,1 f  u, v  可微， z  z  x, y  由方程  x  1 z  y 2 x 2 f  x  z, y  确定，则 _________ （12）设函数 f  x  arctan x  x ，且 f ' '  0  1 ，则 a ________ 1  ax 2  1 0 0 0  1 0 （13）行列式 ____________. 0 0  1 4 3 2  1 （14）设 x , x ,..., x 为来自总体 N  ,  2 的简单随机样本，样本均值 ，参数  x 9.5 1 2 n   的置信度为 0.95 的双侧置信区间的置信上限为 10.8，则  的置信度为 0.95 的双侧置信 区间为______. 三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分）已知平面区域 D  r , 2 r 2 1  cos  ,      ，      2  计算二重积分 2 xdxdy . D （16）（本题满分 10 分）设函数 y ( x) 满足方程 y ''  2 y '  ky 0, 其中 0  k 1 .     证明：反常积分 0 y ( x)dx 收敛；     若 y (0) 1, y ' (0) 1, 求 0 y ( x)dx 的值. （ 17 ） （ 本 题 满 分 10 分 ） 设 函 数 f (0, y )  y  1, Lt I (t )  Lt 是 从 点 (0,0) 到 点 (1, t ) f ( x, y ) 满 足 f ( x, y ) x (2 x  1)e 2 x  y , 且 的 光 滑 曲 线 ， 计 算 曲 线 积 分 f ( x, y ) f ( x, y ) ，并求 的最小值 dx  dy I (t ) x y （18）设有界区域  由平面 2 x  y  2 z 2 与三个坐标平面围成，  为  整个表面的 外侧，计算曲面积分 I  x  2   1 dydz  2 ydzdx  3 zdxdy  （19）（本题满分 10 分）已知函数 f ( x ) 可导，且 f (0) 1 ， 0  f '( x )   xn  满足 x n 1 （I）级数 1 ，设数列 2  f ( xn )( n 1, 2...) ，证明：  ( x n 1  xn ) 绝对收敛； n 1 （II） lim x 存在，且 0  lim x  2 . n n n  n   1  1  1  2   a 1  , B  1  1 1 a   a 1    （20）（本题满分 11 分）设矩阵 A  2 2  a  2  当 a 为何值时，方程 AX B 无解、有唯一解、有无穷多解？  0  1 1 （21）（本题满分 11 分）已知矩阵 A  2  3 0     0 0 0   （I）求 A99 （II）设 3 阶矩阵 示为 B ( ,  2 ,  3 ) 满足 B 2 BA ，记 B100 ( 1 ,  2 ,  3 ) 将 1 ,  2 , 3 分别表 1 ,  2 ,  3 的线性组合。 （ 22 ） （ 本 题 满 分 11 分 ） 设 二 维 随 机 变 量 D   x, y  0  x  1, x 2  y  x 上服从均匀分布，令  ( X ,Y ) 在 区 域 1, X Y U  0, X  Y （I）写出 ( X ,Y ) 的概率密度； （II）问 U 与 X 是否相互独立？并说明理由； （III）求 的分布函数 . F ( z) Z U  X （23）设总体 知参数， X 的概率密度为 X1, X 2 , X 3 为来自总体 f  x,  X 的简单随机样本，令 （1）求 T 的概率密度 （2）确定 a ，使得 aT 为  的无偏估计 参考答案：  3x 2 ,0  x      3 0, 其他  ，其中 为未    0，   T max X 1 , X 2 , X 3  。