2020小学角的平分线的性质

中考网 www.zhongkao.com 角的平分线的性质 教学目标 1． 掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用． 2． 理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题． 3． 渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。 教学重点和难点 角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点． 性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点． 教学过程设计 一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明 1，复习引入课题． （1）提问关于直角三角形全等的判定定理． （2）让学生用量角器画出图 3－86 中的∠AOB 的角 平分线 OC． 2．画图探索角平分线的性质并证明之． （1）在图 3－86 中，让学生在角平分线 OC 上任取一 点 P，并分别作出表示Ｐ点到∠Ｐ点到∠点到∠AOB 两边的距离的线段 PD，PE． （2）这两个距离的大小之间有什么关系？为什么？学生度量后得出猜想，并用直角三 角形全等的知识进行证明，得出定理． （3）引导学生叙述角平分线的性质定理（定理 1），分析定理的条件、结论，并根据 相应图形写出表达式． 3．逆向思维探求角平分线的判定定理． （1）让学生将定理 1 的条件、结论进行交换，并思考所得命题是否成立？如何证明？ 请一位同学叙述证明过程，得出定理 2——角平分线的判定定理． （2）教师随后强调定理 1 与定理 2 的区别：已知角平分线用性质为定理 1，由所给条 件判定出角平分线是定理 2． （3）教师指出：直接使用两个定理不用再证全等，可简化解题过程． 中考网 www.zhongkao.com 中考网 www.zhongkao.com 4．理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合． （1）角平分线上任意一点（运动显示Ｐ点到∠）到角的两边的距离都相等（渗透集合的纯粹 性）． （2）在角的内部，到角的两边距离相等的点（运动显示Ｐ点到∠）都在这个角的平分线上（而 不在其它位置，渗透集合的完备性）． 由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合． 二、应用举例、变式练习 练习 1 填空：如图 3－86（1）∵OC 平分∠AOB，点 P 在射线 OC 上，PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E．∴---------（角平分线的性质定理）． （2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，----------∴ OP 平分∠AOB（-------------） 例 1 已知：如图 3－87（a）， ABC 的角平分线 BD 和 CE 交于 F． （l）求证：F 到 AB，BC 和 AC 边的距离相等； （2）求证：AF 平分∠BAC； （3）求证：三角形中三条内角的平分线交于一点，而且这点到三角形三边的距离相等； （4）怎样找△ABC 内到三边距离相等的点？ （5）若将“两内角平分线 BD，CE 交于 F”改为“△ABC 的两个外角平分线 BD，CE 交于 F，如图 3-87（b），那么（1）～（3）题的结论是否会改变？怎样找△ABC 外到三边所 在直线距离相等的点？共有多少个？ 说明： （1）通过此题达到巩固角平分线的性质定理（第（1）题）和判定定理（第（2）题） 的目的． （2）此题提供了证明“三线共点”的一种常用方法：先确定两条直线交于某一点，再证 明这点在第三条直线上。 （3）引导学生对题目的条件进行类比联想（第（5）题），观察结论如何变化，培养发 散思维能力． 练习 2 已知△ABC，在△ABC 内求作一点 P，使它到△ABC 三边的距离相等． 练 习 3 已 知 ： 如 图 3 － 88 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ， AB ＝ AD ， AB⊥BC，AD⊥DC．求证：点 C 在∠DAB 的平分线上． 中考网 www.zhongkao.com 中考网 www.zhongkao.com 例 2 已知：如图 3－ 89，OE 平分∠AOB，EC⊥OA 于 C，ED⊥OB 于 D．求 证：（1）OC＝OD；（2）OE 垂直平分 CD． 分析：证明第（1）题时，利用“等角的余角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平分 线的性质定理得到 OC＝OD．这样处理，可避免证明两个三角形全等． 练习 4 课本第 54 页的练习. 说明：训练学生将生活语言翻译成数学语言的能力． 三、互逆命题，互逆定理的定义及应用 1．互逆命题、互逆定理的定义． 教师引导学生分析角平分线的性质，判定定理的题设、结论，使学生看到这两个命题的 题设和结论正好相反，得出互逆命题、互逆定理的定义，并举出学过的互逆命题、互逆定 理的例子．教师强调“互逆命题”是两个命题之间的关系，其中任何一个做为原命题，那么 另一个就是它的逆命题． 2．会找一个命题的逆命题，并判定它是真、假命题． 例 3 写出下列命题的逆命题，并判断（1）～（5）中原命题和它的逆命题是真命题还 是假命题： （1）两直线平行，同位角相等； （2）直角三角形的两锐角互余； （3）对顶角相等； （4）全等三角形的对应角相等； （5）如果|x|x|x|＝|x|y|x|，那么 x＝y； （6）等腰三角形的两个底角相等； （7）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 中考网 www.zhongkao.com 中考网 www.zhongkao.com 说明：注意逆命题语言的准确描述，例如第（6）题的逆命题不能说成是“两底角相等的 三角形是等腰三角形”． 3．理解互逆命题、互逆定理的有关结论． 例 4 判断下列命题是否正确： （1）错误的命题没有逆命题； （2）每个命题都有逆命题； （3）一个真命题的逆命题一定是正确的； （4）一个假命题的逆命题一定是错误的； （5）每一个定理都一定有逆定理． 通过此题使学生理解互逆命题的真假性关系及互逆定理的定义． 四、师生共同小结 1．角平分线的性质定理与判定定理的条件内容分别是什么？ 2．三角形的角平分线有什么性质？怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？ 3．怎样找一个命题的逆命题？原命题与逆命题是否同真、同假？ 五、作业 课本第 55 页第 3，5，6，7，8，9 题． 课堂教学设计说明 本教学设计需 2 课时完成． 角平分线是符合某种条件的动点的集合，因此，利用教具，投影或计算机演示Ｐ点到∠动点运动 的过程和规律，更能展示Ｐ点到∠知识的形成过程，有利于学生自己观察，探索新知识，从中提高 兴趣，以充分培养能力，发挥学生学习的主动性． 中考网 www.zhongkao.com