2020小学一元二次方程的解法(配方法)

中考网 www.zhongkao.com 元二次方程的解法(配方法) [内容] 教学目标 (一)使学生知道解完全的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0 ， b≠0， c≠0)可以转化为适 合于直接开平方法的形式(x+m))2=n; (二)在理的基础上，牢牢记住配方的关键是“添加的常数项等于一次项系数 一半的平方”； (三)在数学思想方法方面，使学生体会“转化”的思想和掌握配方法。 教学重点和难点 重点：掌握用配方法配一元二次方程。 难点：凑配成完全平方的方法与技巧。 教学过程设计 (一)复习 1.完全的一元二次方程的一般形式是什么样的?(注意 a≠0) 2.不完全一元二次方程的哪几种形式? (答：只有三种 ax2=0,ax2+c=0,ax2+bx=0(a≠0)) 3.对于前两种不完全的一元二次方程 ax2=0 (a≠0)和 ax2+c=0 (a≠0),我 们已经学会了它们的解法。 特别是结合换元法，我们还会解形如(x+m)) 2=n(n≥0)的方程。 例 解方程：(x-3) 2=4 (让学生说出过程)。 解：方程两边开方，得 x-3=±2，移项，得 x=3±2。 所以 x1=5,x2=1. (并代回原方程检验，是不是根) 2 4.其实(x-3) =4 是一个完全的一元二次方程，我们把原方程展开、整理为 一元二次方程。(把这个展开过程写在黑板上) (x-3) 2=4, ① 2 x -6x+9=4, ② 2 x -6x+5=0. ③ (二)新课 1.逆向思维 我们把上述由方程①→方程②→方程③的变形逆转过来，可以发现，对于 一个完全的一元二次方程，不妨试试把它转化为(x+m)) 2=n 的形式。这个转化 的关键是在方程左端构造出一个未知数的一次式的完全平方式(x+m)) 2。 2.通过观察，发现规律 问：在 x2+2x 上添加一个什么数，能成为一个完全平方(x+?)2。 (添一 项+1) 即 (x2+2x+1)=(x+1) 2. 练习，填空： x2+4x+( )=(x+ ) 2; y2+6y+( )=(y+ ) 2. 算理 x2+4x=2x·2，所以添 2 的平方，y2+6y=y2+2y3，所以添 3 的平方。 总结规律：对于 x2+px,再添上一次项系数一半的平方，就能配出一个含未 中考网 www.zhongkao.com 中考网 www.zhongkao.com p p x 2  px  ( ) 2 ( x  ) 2 2 2 .④ 知数的一个次式的完全平方式。即 (让学生对④式的右边展开，体会括号内第一项与第二项乘积的 2 倍，恰 是左边的一次 项，括号内第二项的平方，恰是配方时所添的常数项) 项固练习(填空配方) 总之，左边的常数项是一次项系数一半的平方。 问：如果左边的一次项系数是负数，那么右边括号里第二项的正负号怎么取? 算理是什么? 巩固练习(填空配方) x2-bx+( )=(x- ) 2; x2-(m)+n)x+( )=(x- ) 2. 3.用配方法解一元二次方程(先将左边化为(x±) 2 形式) 例 1 解方程：x2-8x-9=0. (写出完整的板书) 2 解：移项，得 x -8x=9, 两边都加一次项系数一半的平方， x2-8x+42=q+42, 配方，得 (x-4) 2=25, 解这个方程，得 x-4=±5， 移项，得 x=4±5. 即 x1=9,x2=-1. (口头检验，是不是原方程的根) 2 例 2 解方程：x -8x-8=0. 分析： 像例 1 那样，把方程左边配方成(x+m)) 2 形式. 解：原方程移项，像 x2-8x=8，方程左边配方添一次项系数一半的平方， 方程右边也添一次项系数一半的平方 x2-8x+(x-4) 2=8+(-4) 2, (x-4) 2=24, x-4=±2 6， 所以 x1=4+2 6 ,x2=4-2 6. 例 3 解方程：x2-8x+18=0. 分析：仿例 2 的步骤， 移项，得 x2-8x=-18. 方程两边都加(-4) 2,得 x2-8x+(-4) 2=-18+(-4) 2, (x-4) 2=-2. 因为平方不能是负数，x-4 不存在，所以 x 不存在，即原方程无解. 中考网 www.zhongkao.com 中考网 www.zhongkao.com 例 4 解方程 x2+2m)x+2=0，并指出 m)2 取什么值时，这个方程有解. 分析：由例 3 可见，在方程左边配方后，方程右边式子的值决定了此方程 是否有解，当方程右边式子的值是正数或零，此方程有解，当方程右边式子的 值是负数，此方程无解. 解：移项，得 x2+2m)x=-2. 配方，两边加 m)2,得 x2+2m)x+m)2=m)2-2, (x+m)) 2=m)2-2, 当 m)2-2≥0，即 m)2≥2 时， 所以 m)2≥2，原方程有解 . 例 5 解方程：3x2+2x-3=0. 提问：二次项系数不是 1，怎么办?算理是什么? (答：根据方程同解变形原理，在方程两边都除以同一个不为零的数，所得 方程与原方程同解，原方程两边都除以 3) (三)课堂练习 1.用配方法解方程：x2-4x-3=0. 2.用配方法解法程：2x2+5x-1=0. 提示： (四)小结 1.填空：x2+px+( )=(x+ ) 2. 2.用语言说出对于 x2+px 添上什么，才能成为一个完全平方?(添一次项系 数 p 的一半 的平方) 3.用配方法解一元二次方程的步骤是： (1)化二次项系数为 1； (2)移项，使方程左边只有二次项及一次项； (3)在方程两边都加上一次项系数一半的平方； 中考网 www.zhongkao.com 中考网 www.zhongkao.com (4)变形为(x+m)2)n 的形式，如果 n≥0，得 x+m)=± 所以 x1=-m)+ ,x2=-m)- ,x=-m)± . (五)作业 2.方程 -25(2x+1)2=(-4)3 的解是 . 则 x 的值是( ). 3. (A) 8 (B)-2 (C)8 或-2 4.填空： (D))任意实数 5.用配方法解方程： (1)x2-10x+24=0; (2)x2-8x+15=0; (3)x2+2x-99=0; (4)y2+5y+2=0; (5)3x2-1=4x; (6)2x2+2x-30=0; (7)x2+px+q=0 (p2-4q≥0)； (8)-x2+2x+3=0; (9)ax2+x-2=0 (a＞0)； (10)ax2+abx-2=0 (a＞0). 作业的答案或提示 3.选(C). 中考网 www.zhongkao.com . 中考网 www.zhongkao.com 课堂教学设计说明 1.从逆向思维启发学生，关键在于把方程左边构造出一个完全平方式. 2.通过练习并结合算理加深学生对“添一次项系数一半的平方”这句话的认识 和理解. 3. 配方练习中先集中力量配 x2+px 型，然后，提出 x2-px 型，进而提出 ax2+bx 型，由浅入深. 4.解方程的五个例题是这样安排的： 在配方成(x+m)) 2=n 后，对 n 的取值由易到难，例 1 中， 学生觉得易学不难例 2 中， 是整数，使 是无理数，上了一个档次，例 3 中，n＜0，使 学生认识到，方程有没有解，决定于它的系数，而不是决定于哪种解法。例 4 中，引入了地字母系数讨论的思想，例 5，引入了把二次项系数化为 1 的方法 和算理. 中考网 www.zhongkao.com