2020小学三.1.1直线的倾斜角和斜率（1）

学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 www.gaokao.com 3.1.1 直线的倾斜角和斜率（1） 一、教学目标 知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念 以及直线的斜率公式． 二、重难点 1．重点：通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进一步研究 直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜角和斜率是 反映直线相对于 x 轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确 理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫． 2．难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点．由于 以后还要专门研究曲线与方程，对这一点只需一般介绍就可以了． 三、教学过程 (一)复习一次函数及其图象 已知一次函数 y=2x+1，试判断点 A(1，2)和点 B(2，1)是否在函数图象上． 初中我们是这样解答的： ∵A(1，2)的坐标满足函数式， ∴点 A 在函数图象上． ∵B(2，1)的坐标不满足函数式， ∴点 B 不在函数图象上． 现在我们问：这样解答的理论依据是什么？(这个问题是本课的难点，要给足够的时 间让学生思考、体会．) 讨论作答：判断点 A 在函数图象上的理论依据是：满足函数关系式的点都在函数的图 象上；判断点 B 不在函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标应满足函数关系式． 简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系． (二)直线的倾斜角 34 学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 www.gaokao.com 一条直线 l 向上的方向与 x 轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如 图中的 α．特别地，当直线 l 和 x 轴平行时，我们规定它的倾斜角为 0°，因此，倾斜角的 取值范围是 0°≤αα＜180°． 直线倾斜角角的定义有下面 三个要点：(1)以 x 轴正向作为参 考方向(始边)；(2)直线向上的方 向作为终边；(3)最小正角． (三)直线的斜率 倾斜角不是 90°的直线．它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用 k 表示，即 k  tan  (四)过两点的直线的斜率公式 在坐标平面上，已知两点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，由于两点可以确定一条直线， 直线 P1P2 就是确定的．当 x1≠x2 时，直线的倾角不等于 90°时，这条直线的斜率也是确 定的．怎样用 P2 和 P1 的坐标来表示这条直线的斜率？ P2 分别向 x 轴作垂线 P1M1、P2M2，再作 P1Q⊥P2M，垂足分别是 M1、M2、Q．那么： α=∠QP1P2(图甲)或 α=π-∠P2P1Q(P2P1Q(图乙) 在图甲中： tan   QP2 y  y1  2 P1Q x 2  x1 34 学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 在图乙中： tan   tan  P2 P1Q  高考网 www.gaokao.com QP2 y  y1  2 QP1 x2  x 如果 P1P2 向下时，用前面的结 论课得： tan   y1  y 2 y 2  y1  x1  x 2 x2  x 综上所述，我们得到经过点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点的直线的斜率公式： 对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当 x1=x2 时，公式右边无意义，直线的斜 率不存在，倾斜角为 90°；(2)k 与 P1、P2 的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而 由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到． (五)例题 例1 如图，直线 l1 的倾斜角 α1=30°，直线 l2⊥l1，求 l1、l2 的斜率． 解： ∵l2 的倾斜角 α2=90°+30°=120°，  k 2  tan 120 0  3 3 本例题是用来复习巩固直线的倾斜角和 3 及它们之间的关系的，可由学生课堂练习，学生演板． k1 tan 300  例2 斜率以 求经过 A(-2，0)、B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角． 34 学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 www.gaokao.com ∴tgα=-1． ∵0°≤αα＜180°， ∴α=135°． 因此，这条直线的斜率是-1，倾斜角是 135°． 讲此例题时，要进一步强调 k 与 P1P2 的顺序无关，直线的斜率和倾斜角可通过直线 上的两点的坐标求得． (六)课后小结 (1)直线的方程的倾斜角的概念． (2)直线的倾斜角和斜率的概念． (3)直线的斜率公式． 三、布置作业 1．在坐标平面上，画出下列方程的直线： (1)y=x (2)2x+3y=6 (3)2x+3y+6=0 (4)2x-3y+6=0 作图要点：利用两点确定一条直线，找出方程的两个特解，以这两个特解为坐标描点 连线即可． 2．求经过下列每两个点的直线的斜率，若是特殊角则求出倾斜角： (1)C(10，8)，D(4，-4)； 34 学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 解：(1)k=2 高考网 www.gaokao.com ． (3)k=1，α=45°． 3．已知：a、b、c 是两两不相等的实数，求经过下列每两个点的直线的倾斜角： (1)A(a，c)，(b，c)；(2)C(a，b)，D(a，c)；(3)P(b，b+c)，Q(a，c+a)． 解：(1)α=0°；(2)α=90°；(3)α=45°． 4．已知三点 A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数 a 的值． ∵A、B、C 三点在一条直线上， ∴kAB=kAC． 六、板书设计 3.1.1 直线的倾斜角和斜率（2） 一、教学目标 (一)知识教学点 复习直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式． (二)能力训练点 通过对知识点的应用（例题 1、例题 2 及课堂练习），巩固学生所学的知识，培养学 生分析、解决问题的能力；． (三)学科渗透点 34