数学专项辅导：集合大小定义的基本要求

数学专项辅导：集合大小定义的基本要求 作为集合大小的定义，应该满足什么样的基本要求?我们当然要尽可能地使它符合一般的关 于“大小”的常识和直觉，其中有许多是要比“整体大于部分”更加要紧的。 首先，一个集合的大小只应该取决于这个集合本身。 我们知道一个集合可以用多种方法来构造和表示，比如说， A={小于等于 2 的正整数｝ B={1, 2｝ C={x2-3x+2=0 的根｝ 其实都是同一个集合， D={n | n 为自然数，且方程 xn+yn=zn 有 xyz≠0 的整数解｝ 又怎么样呢?1996 年英国数学家怀尔斯证明了费尔马大定理，所以集合 D 和上面的集 合 A、B、C 是同一个集合，它里面有两个元素 1 和 2。我们记得，一个集合由它所含的元 素唯一决定，所以它的大小也不能取决于它被表示的方法，或者被构造的途径，它只应该 取决于它本身。 一个集合得和自己一样大，这个没有什么好说的; 其次，如果集合 A 不小于(也就是说或者大于，或者一样大)集合 B，而集合 B 也不小于集 合 A，那么它们就必须是一样大的; 第三，如果集合 A 不小于集合 B，而集合 B 又不小于集合 C，那么集合 A 就必须不小于 集合 C。在数学上，我们称满足这三个条件的关系为“偏序关系”(注：严格地说，这个偏序 关系并不定义在集合之间，而是定义在集合按“一样大”这个等价关系定义出的等价类之间， 关于偏序关系的严格定义的叙述和上面所说的也有区别，但这些问题在这里并不要紧，你 如果看不懂这个注在讲什么也不要紧)。如果一个关于集合大小的定义违反了上面所说的三 条之一，这个定义的怪异程度一定会超过上面使用一一对应原则的定义! 举个例子，比如说我对某位科幻小说作家的喜爱程度就是一个偏序关系。如果我喜欢 阿西莫夫胜于喜欢凡尔纳，而喜欢凡尔纳又胜于喜欢克拉克，那在阿西莫夫和克拉克中， 我一定更喜欢阿西莫夫。不过一个偏序关系并不要求任意两个对象都能相互比较。比如说 刘慈欣的水平当然不能和克拉克这样的世界级科幻大师比，但是“喜欢”是一种很个人的事 情，作为一个中国人，我对中国的科幻创作更感兴趣——所以似乎不能说我更喜欢克拉克， 但也不能说我更喜欢刘慈欣，而且也不能说同样喜欢，因为喜欢的地方不一样——所以更 确切地也许应该说，他们俩之间不能比较。但偏序关系中存在这样的可能性，有一个对象 可以和两个不能相互比较的对象中的每一个相比较，比方说我喜欢阿西莫夫胜过刘慈欣和 克拉克中的任一个。 不过作为集合大小的定义，我们希望能够比较任意两个集合的大小。所以，对于任何 给定的两个集合 A 和 B，或者 A 比 B 大，或者 B 比 A 大，或者一样大，这三种情况必须有 一种正确而且只能有一种正确。这样的偏序关系被称为“全序关系”。 最后，新的定义必须保持原来有限集合间的大小关系。有限集合间的大小关系是很清 楚的，所谓的“大”，也就是集合中的元素更多，有五个元素的集合要比有四个元素的集合 大，在新的扩充了的集合定义中也必须如此。这个要求是理所当然的，否则我们没有理由 将新的定义作为老定义的扩充。 “整体大于部分”原则的困难和一一对应原则的优点 满足上面几条要求的定义，最简单的就是认为无限就只有一种，所有的无限集合都一 样大，而它们都大于有限集合。这其实是康托尔创立集合论以前数学家的看法，所以康托 尔把无限分成许多类的革命性做法使得数学家们大吃了一惊。但是这样的定义未免太粗糙 了一点，只不过是把“无限集合比有限集合大”换了种方法说罢了，我们看不出这有什么用 处。没有用的定义不要也罢——再说在这种定义中，自然数和正偶数也一样多，因为所对 应的集合都是无限集合。 如果我们在上面几条要求中，再加上“整体大于部分”这条要求会怎么样呢? 我们想像平面上有条射线，射线的一端是原点，然后在上面我们每隔一厘米画一个点， 并在每个点旁边标上 1、2、3……等，这样就有无穷个点。那么这个点集和自然数集合比 较大小的结果应该如何?按照我们前面的要求，任何两个集合都应该可以比较大小的。我们 很容易想像到，这其实是一条数轴的正半轴，上面的点就是代表自然数的那些点，所以这 些点的个数应该和自然数的个数相同。而且，按照“整体大于部分”的规定，那些标有 10、20、30……的点的集合比所有点的集合要小。但是“一厘米”实在是非常人为的规定， 如果我们一开始就每隔一分米画一个点，顺着上面的思路，这些点的个数也该和自然数一 样多，但是这恰好是按一厘米间隔画点时标有 10、20、30……的点啊!那些点始终是一样 的，所以它们的个数不应该取决于在它们的旁边标记的是“1、2、3……”还是 “10、20、30……”。