高一数学学习方法：函数值域必修

高一数学学习方法：函数值域必修 一.观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例 1 求函数 y=3+√(2-3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2-3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2-3x)≥0， 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法， 简捷明了，不失为一种巧法。 求函数 y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝) 二.反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例 2 求函数 y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数 y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),x=(1-2y)/(y-1),其定义域为 y≠1 的实数,故函数 y 的值域为{y?y≠1,y∈R｝。 求函数 y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函数的值域为{y?y<-1 y="">1｝) 三.配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例 3：求函数 y=√(-x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为 x∈[-1，2]。此时-x2+x+2=-(x1/2)2+9/4∈[0，9/4] 求函数 y=2x-5+√15-4x 的值域.(答案:x=(1-2y)/(y-1),值域为{y?y≤3}) 四.判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例 4 求函数 y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原 函数的值域。 解：将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*) 当 y≠2 时,由 Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2 求函数 y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域为 y≤-8 或 y>0)。 五.最值法 对于闭区间[a,b]]上的连续函数 y=f(x),可求出 y=f(x)在区间[a,b]]内的极值,并与边界值 f(a).f(b])作比较,求出函数的最值,可得到函数 y 的值域。 例 5 已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足 x+y=1,求函数 z=xy+3x 的值域。 点拨：根据已知条件求出自变量 x 的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数 的值域。 解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式与不等式 2x2-x-3≤0 同解，解之得-1≤x≤3/2，又 x+y=1，将 y=1-x 代入 z=xy+3x 中，得 z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4 且 x∈[-1,3/2],函数 z 在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。 当 x=-1 时，z=-5;当 x=3/2 时，z=15/4。 若√x 为实数，则函数 y=x2+3x-5 的值域为 ( ) A.(-∞，+∞) B.[-7，+∞] C.[0，+∞) D.[-5，+∞)