高中数学转化化归思想与逻辑划分思想例题讲解

高中数学转化化归思想与逻辑划分思想例题讲解 一、数学解题中转化与化归思想的应用 数学活动的实质就是思维的转化过程，在解题中，要不断改变解题方向，从不同角度， 不同的侧面去探讨问题的解法，寻求最佳方法。 在转化过程中，应遵循三个原则： 1、熟悉化原则，即将陌生的问题转化为熟悉的问题； 2、简单化原则，即将复杂问题转化为简单问题； 3、直观化原则，即将抽象总是具体化. 策略一：正向向逆向转化 一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，如果从下面入手思维受阻， 不妨从它的正面出发，逆向思维，往往会另有捷径. 例 1 ：四面体的顶点和各棱中点共 10 个点，在其中取 4 个不共面的点，不共面的取法 共有__________种. A、150 B、147 C、144 D、141 分析：本题正面入手，情况复杂，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补 集思想，就简单多了. 10 个点中任取 4 个点取法有 种，其中面 ABC 内的 6 个点中任取 4 点都共面有 种，同 理其余 3 个面内也有 种，又，每条棱与相对棱中点共面也有 6 种，各棱中点 4 点共面的有 3 种， 不共面取法有 种，应选（D）. 策略二：局部向整体的转化 从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较复杂的数学问题却需要 从总体上去把握事物，不纠缠细节，从系统中去分析问题，不单打独斗. 例 2：一个四面体所有棱长都是 ，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为（ ） A、 B、 C、 D、 分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，容易出错， 但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因 为正四面体棱长为 ，所以正方体棱长为 1，从而外接球半径为 ，应选（A）. 策略三：未知向已知转化 又称类比转化，它是一种培养知识迁移能力的重要学习方法，解题中，若能抓住题目 中已知关键信息，锁定相似性，巧妙进行类比转换，答案就会应运而生. 例 3：在等差数列 中，若 ，则有等式 （ 成立，类比上述性质，在等比数列 中， ，则有等式_________成立. 分析：等差数列 中， ，必有 ，故有 类比等比数列 ，因为 ，故 成立. 二、逻辑划分思想 例题 1、已知集合 A= ，B= ，若 B A，求实数 a 取值的集合. 解 A= ： 分两种情况讨论 （1）B=￠，此时 a=0； (2)B 为一元集合，B= ，此时又分两种情况讨论 ： (i) B={-1}) B={-1}，则 =-1，a=-1 （i) B={-1}i) B={-1}）B={1}，则 =1， a=1.（二级分类） 综合上述 所求集合为 . 例题 2、设函数 f(x)＝ax －2x＋2，对于满足 1≤x≤4x≤x≤44 的一切 x 值都有 f(x)≥ 0，求实数 a 的取值范围. 例题 3、已知 ，试比较 的大小. 【分析】 于是可以知道解本题必须分类讨论，其划分点为 . 小结：分类讨论的一般步骤： （1）明确讨论对象及对象的范围 P.（即对哪一个参数进行讨论）； （2）确定分类标准，将 P 进行合理分类，标准统一、不重不漏，不越级讨论.； （3）逐类讨论，获取阶段性结果.（化整为零，各个击破）； （4）归纳小结，综合得出结论.（主元求并，副元分类作答）.