高中数学解析几何中求参数取值范围的方法

高中数学解析几何中求参数取值范围的方法 近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题 不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力 和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时，往往抓不 住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式， 然后求出不等式的解。那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法： 一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式 曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 上的点 P(x,y)满足a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量 之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求 解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法. 例 1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B 是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P(x0 , 0) 求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a 分析:先求线段 AB 的垂直平分线方程,求出 x0 与 A,B 横坐标的关系,再利用椭圆上的点 A,B 满足的范围求解. 解: 设 A,B 坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =b2a2 ?x2+x1 y2+y1 又∵线段 AB 的垂直平分线方程为 y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 ) 令 y=0 得 x0=x1+x22 ?a2-b2a2 又∵A,B 是椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 上的点 ∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a ∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a 例 2 如图,已知△OFQ 的面积为 S,且 OF?FQ=1,若 12 < S <2 ,求向量 OF 与 FQ 的夹角 θ 的取值范围. 分析:须通过题中条件建立夹角 θ 与变量 S 的关系,利用 S 的范围解题. 解: 依题意有 ∴tanθ=2Sθ=2S ∵12 < S <2 ∴1< tanθ=2Sθ<4 又∵0≤θ≤π ∴π4 <θ< p>> 例 3 对于抛物线 y2=4x 上任一点 Q,点 P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,PQ|PQ|≥|a|,≥|PQ|≥|a|,a|PQ|≥|a|,,则 a 的取值范围是 ( ) A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p>> 分析:直接设 Q 点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a|,PQ|PQ|≥|a|,≥|PQ|≥|a|,a|PQ|≥|a|, 求解. 解: 设 Q( y024 ,y0) 由|PQ|≥|a|,PQ|PQ|≥|a|, ≥a 得 y02+( y024 -a)2≥a2 即 y02(y02+16-8a) ≥0 ∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0 即 a≤2+ y028 恒成立 又∵ y02≥0 而 2+ y028 最小值为 2 ∴a≤2 选( B )