高二数学复习方法：高二数学难点高效突破

高二数学复习方法：高二数学难点高效突破 一、 定位整体 新课程标准对“常用逻辑用语”的定位为：“正确使用逻辑用语是现代社会公民应该具备 的基本素质，无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确的运用逻辑用语表 达自己的思想。在本模块中，同学们将在义务教育的基础上，学习常用逻辑用语，体会逻 辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交 流。” 因此，学习逻辑用语，不仅要了解数理逻辑的有关知识，还要体会逻辑用语在表述 或论证中的作用，使以后的论证和表述更加准确、清晰和简洁。 二、 明确重点 “常用逻辑用语”分成三大节，分别为：命题及其关系，简单的逻辑联结词，全称量词 与存在量词。 “命题及其关系”分两小节：一、“四种命题”，此节重点在于四种命题形式及其关系，互 为逆否命题的等价性;二、“充分条件和必要条件”，此节重点在于充分条件、必要条件、充 要条件的准确理解以及正确判断。 “简单的逻辑联结词”重点在于“且”、 "或”、 "非”这三个逻辑联结词的理解和应用。 “全称量词与存在量词”重点在于理解全称量词与存在量词的意义，以及正确做出含有 一个量词的命题的否定。 三、 突破难点 1. "四种命题”的难点在于分清命题的条件和结论以及判断命题的真假 例 1 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。 (1) 全等三角形的面积相等; (2) m>时，方程 mx2-x+1=0 无实根; 解析 (1) 条件为两个三角形全等，结论为它们的面积相等。因此，原命题即为“若两个 三角形全等，则它们的面积相等”，逆命题为“若两个三角形面积相等，则它们全等”，否命 题为“若两个三角形不全等，则它们的面积不相等”，逆否命题为“若两个三角形面积不相等 ， 则它们不全等”。根据平面几何知识，易得原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为 假命题。 (2) 原命题即为“若 m>，则方程 mx2-x+1=0 无实根”，逆命题为“若方程 mx2-x+1=0 无 实根，则 m>”，否命题为“若 m≤，则方程 mx2-x+1=0 有实根”，逆否命题为“若方程 mx2- x+1=0 有实根，则 m≤”。根据判别式 Δ=1-4mm 的正负可知，原命题、逆命题、否命题、逆 否命题均为真命题。 突破 对于判断命题的真假，我们需要先弄清何为条件、何为结论，然后根据相应的知 识进行判断，当原命题不容易直接判断时，可以先判断其逆否命题的真假性，从而得到原 命题的真假性。 2. "充分条件和必要条件”的难点在于充要性的判断 例 2 在下列命题中，判断 p 是 q 的什么条件。(在“充分不必要条件”、“必要不充分条 件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选出一种) (1) p:|p|≥2，p∈R;q:方程 x2+px+p+3=0 有实根。 (2) p:圆 x2+y2=r2 与直线 ax+by+c=0 相切;q:c2=(a2+b2)r2，其中 a2+b2≠0，r≠0. (3) 设集合 M={x|x>2}，N={x|x<3}，p:x∈M∩N;q:x∈M∪N. 解析 (1) 当|p|≥2 时，例如 p=3，此时方程 x2+px+p+3=0 无实根，因此“若 p 则 q”为 假命题;当方程 x2+px+p+3=0 有实根时，根据判别式有 p≤-2 或 p≥6，此时|p|≥2 成立，因 此“若 q 则 p”为真命题。故 p 是 q 的必要不充分条件。 (2) 若圆 x2+y2=r2 与直线 ax+by+c=0 相切，则圆心(0，0)到直线 ax+by+c=0 的距离等 于 r ， 即 r= ， 化 简 可 得 c2=(a2+b2)r2 ， 因 此 “ 若 p 则 q” 为 真 命 题 ; 反 过 来 ， 由 c2=(a2+b2)r2，可得 r=，即圆心(0，0)到直线 ax+by+c=0 的距离等于 r，由解析几何知识得 圆与直线相切，因此“若 q 则 p”为真命题。故 p 是 q 的充要条件。 (3) M∩N=(2，3)，M∪N=R，若 x∈(2，3)，此时显然有 x∈R，因此“若 p 则 q”为真 命题;反过来，若 x∈R，例如 x=5，此时 x?埸(2，3)，因此“若 q 则 p”为假命题。故 p 是 q 的充分不必要条件。 突破 ①从逻辑的观点理解：判断充分性、必要性的前提是判断给定命题的真假性，若 “若 p 则 q”为真命题，则 p 是 q 的充分条件;若“若 q 则 p”为真命题，则 p 是 q 的必要条件; 若两者都是真命题，则 p 是 q 的充要条件;若两者都是假命题，则 p 是 q 的既不充分也不必 要条件。②从集合的观点理解：建立命题 p，q 相应的集合。 p:A={x|p(x)成立}，q:B={x| q(x)成立}。那么：若 A?哿 B，则 p 是 q 的充分条件;若 B?哿 A，则 p 是 q 的必要条件;若 A=B，则 p 是 q 的充要条件。若 A?芫 B 且 B?芫 A，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件。 以上是部分突破高二数学命题难点的方法，掌握了方法做起题来就会容易很多了，希 望同学们课下多加钻研，多加思考。