高二数学复习方法：排列与组合计算公式

高二数学复习方法：排列与组合计算公式 排列组合公式/排列组合计算公式 排列 P------和顺序有关 组合 C-------不牵涉到顺序的问题 排列分顺序，组合不分 例如把 5 本不同的书分给 3 个人，有几种分法."排列" 把 5 本书分给 3 个人，有几种分法"组合" 1.排列及计算公式 从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的一个排列;从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有排列的个数， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 p(n，m)表示. p(n，m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!(规定 0!=1). 2.组合及计算公式 从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 元素的一个组合;从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的组合数.用符号 c(n，m)表示. c(n，m)=p(n，m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n，m)=c(n，n-m); 3.其他排列与组合公式 从 n 个元素中取出 r 个元素的循环排列数=p(n，r)/r=n!/r(n-r)!. n 个元素被分成 k 类，每类的个数分别是 n1，n2，...nk 这 n 个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k 类元素，每类的个数无限，从中取出 m 个元素的组合数为 c(m+k-1，m). 排列(Pnm(n 为下标，m 为上标))Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘 符号);Pnn(两个 n 分别为上标和下标)=n!;0!=1;Pn1(n 为下标 1 为上标)=n 组合(Cnm(n 为下标，m 为上标)) Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个 n 分别为上标和下标)=1;Cn1(n 为下标 1 为上标)=n;Cnm=Cnn-m 2008-07-0813：30 公式 P 是指排列，从 N 个元素取 R 个进行排列。公式 C 是指组合，从 N 个元素取 R 个， 不进行排列。N-元素的总个数 R 参与选择的元素个数!-阶乘，如 9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1 从 N 倒数 r 个，表达式应该为 n*(n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从 n 到(n-r+1)个数为 n-(n-r+1)=r 举例： Q1：有从 1 到 9 共计 9 个号码球，请问，可以组成多少个三位数? A1：123 和 213 是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列 P”计算 范畴。 上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现 988，997 之类的组合，我们可 以这么看，百位数有 9 种可能，十位数则应该有 9-1 种可能，个位数则应该只有 9-1-1 种可 能，最终共有 9*8*7 个三位数。计算公式=P(3，9)=9*8*7，(从 9 倒数 3 个的乘积) Q2：有从 1 到 9 共计 9 个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合 成多少个“三国联盟”? A2：213 组合和 312 组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要 求顺序的，属于“组合 C”计算范畴。 上 问题 中， 将所 有的 包括 排列 数的 个数 去除 掉属 于重 复的 个数 即为 最终 组合 数 C(3，9)=9*8*7/3*2*1 排列、组合的概念和公式典型例题分析 例 1 设有 3 名学生和 4 个课外小组.(1)每名学生都只参加一个课外小组;(2)每名学生都 只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加.各有多少种不同方法? 解(1)由于每名学生都可以参加 4 个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的 人数，因此共有种不同方法. (2)由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共 有种不同方法. 点评由于要让 3 名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算. 例 2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少 种? 解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共 3 类，每一类中不同 排法可采用画“树图”的方式逐一排出： ∴符合题意的不同排法共有 9 种. 点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理 .为把握不同排法的规律，“树图”是一种 具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型. 例 3 判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出结果. (1)高三年级学生会有 11 人：①每两人互通一封信，共通了多少封信?② 每两人互握了 一次手，共握了多少次手? (2)高二年级数学课外小组共 10 人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种 不同的选法?② 从中选 2 名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法? (3)有 2，3，5，7，11，13，17，19 八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有 多少种不同的商?② 从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积? (4)有 8 盆花：①从中选出 2 盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法 ?② 从 中选出 2 盆放在教室有多少种不同的选法? 分析(1)① 由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺 序有关是排列;② 由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序 无关，所以是组合问题.其他类似分析. (1)① 是排列问题，共用了封信;② 是组合问题，共需握手(次). (2)① 是排列问题，共有(种)不同的选法;② 是组合问题，共有种不同的选法. (3)① 是排列问题，共有种不同的商;② 是组合问题，共有种不同的积. (4)① 是排列问题，共有种不同的选法;② 是组合问题，共有种不同的选法. 例 4 证明. 证明左式右式. ∴等式成立. 点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可 使变形过程得以简化. 例 5 化简. 解法一原式 解法二原式 点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质;解法二选用了组合数的 两个性质，都使变形过程得以简化. 例 6 解方程：(1);(2). 解(1)原方程 解得. (2)原方程可变为 ∵，， ∴原方程可化为. 即，解得 第六章排列组合、二项式定理 一、考纲要求 1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题. 2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用 它们解决一些简单的问题. 3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题. 二、知识结构 三、知识点、能力点提示 (一)加法原理乘法原理 说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中 有关问题提供了理论根据.