把n个相同元素分给m个人，全部分完，每个人至少分一个，有多少种不同的分法?

模型:

把n个相同元素分给m个人，全部分完，每个人至少分一个，有多少种不同的分法?

在这个问题当中，有三个关键点

1.n个相同元素;

2.分给m个人，全部分完;

3.每个人至少分1个。

在这个问题中把n个元素分成m份即可，但是每一份至少是1个，所以可以在n个元素中间插空，n个元素排好后中间会有n-1个空，直接在n-1个空中任意选m-1个空插板就可以分成m份，每一份至少是1个，所以可以列式C(m-1,n-c)。

接下来我们用几个小题目来理解一下这个问题。

问题1:

把10个相同的苹果分给3个小朋友，每个人至少分1个,有多少种不同的方法?

解析:10个苹果中间可以形成9个空，所以我们可以直接在9个空当中任意选两个空进行插板，就可以把苹果分成3份，每一份至少是1个，列式为C(2,9)，计算可得36种。

问题2:

把10个相同的苹果分给3个小朋友,每个人至少分2个，有多少种不同的方法?

解析:在这个题目中，我们需要明确的是，10个苹果分给3个小朋友每人至少分2个，如果直接应用隔板模型的公式去做题的话，不符合隔板模型的第三个特征，所以需要把每人至少分2个转化成至少分1个的形式，从而利用隔板模型的公式去做题。可以考虑3个小朋友，每人先分1个，余下7个苹果分给3个小朋友，每人至少分1个，所以可列式C(2,6)，计算可得15种。