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2019年成人高考《数学(文)》章节难点习题(11)

来源:长理培训发布时间:2019-07-13 16:23:55
●歼灭难点训练

  一、选择题

  1.(★★★★)函数y=x+a与y=logax的图象可能是( )

2017年成人高考《数学(文)》章节难点习题(11)


  2.(★★★★★)定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数,偶函数g(x)在区间[0,+∞)的图象与f(x)的图象重合,设a>b>0,给出下列不等式:

  ①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ②f(b)-f(-a)g(b)-g(-a) ④f(a)-f(-b)

  其中成立的是( )

  A.①与④ B.②与③ C.①与③ D.②与④

  二、填空题

  3.(★★★★)若关于x的方程22x+2xa+a+1=0有实根,则实数a的取值范围是_________.

  三、解答题

  4.(★★★★)设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R.

  (1)讨论f(x)的奇偶性;

  (2)求f(x)的最小值.

  5.(★★★★★)设f(x)= .

  (1)证明:f(x)在其定义域上的单调性;

  (2)证明:方程f-1(x)=0有惟一解;

  (3)解不等式f[x(x- )]< .

  6.(★★★★★)定义在(-1,1)上的函数f(x)满足①对任意x、y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f( );②当x∈(-1,0)时,有f(x)>0.

  求证: .

  7.(★★★★★)某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计,且池无盖).

2017年成人高考《数学(文)》章节难点习题(11)




  (1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式,并指出其定义域.

  (2)求污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求最低总造价.

  8.(★★★★★)已知函数f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上有定义,且在(0,+∞)上是增函数,f(1)=0,又g(θ)=sin2θ-mcosθ-2m,θ∈[0, ],设M={m|g(θ)<0,m∈R},N={m|f[g(θ)]<0},求M∩N.

  [学法指导]怎样学好函数

  学习函数要重点解决好四个问题:准确深刻地理解函数的有关概念;揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系;把握数形结合的特征和方法;认识函数思想的实质,强化应用意识.

  (一)准确、深刻理解函数的有关概念

  概念是数学的基础,而函数是数学中最主要的概念之一,函数概念贯穿在中学代数的始终.数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数.近十年来,高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线.

  (二)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系.函数是研究变量及相互联系的数学概念,是变量数学的基础,利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容.在利用函数和方程的思想进行思维中,动与静、变量与常量如此生动的辩证统一,函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式.

  所谓函数观点,实质是将问题放到动态背景上去加以考虑.高考试题涉及5个方面:(1)原始意义上的函数问题;(2)方程、不等式作为函数性质解决;(3)数列作为特殊的函数成为高考热点;(4)辅助函数法;(5)集合与映射,作为基本语言和工具出现在试题中.

  (三)把握数形结合的特征和方法

  函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合,有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性,体现了数形结合的特征与方法,为此,既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形,又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换.

  (四)认识函数思想的实质,强化应用意识

  函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象,抽象数量特征,建立函数关系,求得问题的解决.纵观近几年高考题,考查函数思想方法尤其是应用题力度加大,因此一定要认识函数思想实质,强化应用意识.

  参考答案

  难点磁场

  (1)证明:令x=y=0,得f(0)=0

  令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)

  ∴f(x)是奇函数

  (2)解:1°,任取实数x1、x2∈[-9,9]且x10,f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x1)=-f(x2-x1)

  因为x>0时f(x)<0,∴f(x1)-f(x2)>0

  ∴f(x)在[-9,9]上是减函数

  故f(x)的最大值为f(-9),最小值为f(9).

  而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=-12,f(-9)=-f(9)=12.

  ∴f(x)在区间[-9,9]上的最大值为12,最小值为-12.

  歼灭难点训练

  一、1.解析:分类讨论当a>1时和当0

  答案:C

  2.解析:用特值法,根据题意,可设f(x)=x,g(x)=|x|,又设a=2,b=1,

  则f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)-f(b)=f(2)-f(-1)=2+1=3.

  g(b)-g(-a)=g(1)-g(-2)=1-2=-1.∴f(a)-f(-b)>g(1)-g(-2)=1-2=-1.

  又f(b)-f(-a)=f(1)-f(-2)=1+2=3.

  g(a)-g(-b)=g(2)-g(1)=2-1=1,∴f(b)-f(-a)=g(a)-g(-b).

  即①与③成立.

  答案:C

  二、3.解析:设2x=t>0,则原方程可变为t2+at+a+1=0 ①

  方程①有两个正实根,则 解得:a∈(-1,2-2 .

  答案:(-1,2-2 三、4.解:(1)当a=0时,函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此时f(x)为偶函数;当a≠0时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a).此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶

  函数.

  (2)①当x≤a时,函数f(x)=x2-x+a+1=(x- )2+a+ ,若a≤ ,则函数f(x)在(-∞,a 上单调递减,从而,函数f(x)在(-∞,a 上的最小值为f(a)=a2+1.

  若a> ,则函数f(x)在(-∞,a 上的最小值为f( )= +a,且f( )≤f(a).

  ②当x≥a时,函数f(x)=x2+x-a+1=(x+ )2-a+ ;当a≤- 时,则函数f(x)在[a,+∞ 上的最小值为f(- )= -a,且f(- )≤f(a).若a>- ,则函数f(x)在[a,+∞)上单调递增,从而,函数f(x)在[a,+∞]上的最小值为f(a)=a2+1.

  综上,当a≤- 时,函数f(x)的最小值是 -a,当- 时,函数f(x)的最小值是a+ .

  5.(1)证明:由 得f(x)的定义域为(-1,1),易判断f(x)在(-1,1)内是减函数.

  (2)证明:∵f(0)= ,∴f--1( )=0,即x= 是方程f--1(x)=0的一个解.若方程f--1(x)=0还有另一个解x0≠ ,则f--1(x0)=0,由反函数的定义知f(0)=x0≠ ,与已知矛盾,故方程f--1(x)=0有惟一解.

  (3)解:f[x(x- )]< ,即f[x(x- )]

  6.证明:对f(x)+f(y)=f( )中的x,y,令x=y=0,得f(0)=0,再令y=-x,又得f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),∴f(x)在x∈(-1,1)上是奇函数.设-10.∴ <0,于是由②知f( )>0,从而f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故f(x)在x∈(-1,0)上是单调递减函数.根据奇函数的图象关于原点对称,知f(x)在x∈(0,1)上仍是递减函数,且f(x)<0.

  7.解:(1)因污水处理水池的长为x米,则宽为 米,总造价y=400(2x+2× )+248× ×2+80×200=800(x+ )+1600,由题设条件

  解得12.5≤x≤16,即函数定义域为[12.5,16].

  (2)先研究函数y=f(x)=800(x+ )+16000在[12.5,16]上的单调性,对于任意的x1,x2∈[12.5,16],不妨设x11,即1- <0.又x2-x1>0,∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)

  综上,当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,最低为45000元.

  8.解:∵f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,∴f(x)在(-∞,0)上也是增函数.

  又f(1)=0,∴f(-1)=-f(1)=0,从而,当f(x)<0时,有x<-1或0

  则集合N={m|f[g(θ)]<θ= ={m|g(θ)<-1或0

  ∴M∩N={m|g(θ)<-1 .由g(θ)<-1,得cos2θ>m(cosθ-2)+2,θ∈[0, ],令x=cosθ,x∈[0,1]得:x2>m(x-2)+2,x∈[0,1],令①:y1=x2,x∈[0,1]及②y2=m(m-2)+2,显然①为抛物线一段,②是过(2,2)点的直线系,在同一坐标系内由x∈[0,1]得y1>y2.∴m>4-2 ,故M∩N={m|m>4-2 }.

责编:蔡爱秀

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