2018年成人高考《数学（文）》章节难点习题(11)

 　　●歼灭难点训练

　　一、选择题

　　1.(★★★★)函数y=x+a与y=logax的图象可能是( )

 

　　2.(★★★★★)定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，+∞)的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0,给出下列不等式：

　　①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ②f(b)-f(-a)g(b)-g(-a) ④f(a)-f(-b)

　　其中成立的是( )

　　A.①与④ B.②与③ C.①与③ D.②与④

　　二、填空题

　　3.(★★★★)若关于x的方程22x+2xa+a+1=0有实根，则实数a的取值范围是_________.

　　三、解答题

　　4.(★★★★)设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R.

　　(1)讨论f(x)的奇偶性;

　　(2)求f(x)的最小值.

　　5.(★★★★★)设f(x)= .

　　(1)证明：f(x)在其定义域上的单调性;

　　(2)证明：方程f-1(x)=0有惟一解;

　　(3)解不等式f[x(x- )]< .

　　6.(★★★★★)定义在(-1，1)上的函数f(x)满足①对任意x、y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f( );②当x∈(-1,0)时，有f(x)>0.

　　求证： .

　　7.(★★★★★)某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖).

 

　　(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式，并指出其定义域.

　　(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低?并求最低总造价.

　　8.(★★★★★)已知函数f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上有定义，且在(0,+∞)上是增函数，f(1)=0,又g(θ)=sin2θ-mcosθ-2m,θ∈[0, ],设M={m|g(θ)<0,m∈R},N={m|f[g(θ)]<0},求M∩N.

　　[学法指导]怎样学好函数

　　学习函数要重点解决好四个问题：准确深刻地理解函数的有关概念;揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系;把握数形结合的特征和方法;认识函数思想的实质，强化应用意识.

　　(一)准确、深刻理解函数的有关概念

　　概念是数学的基础，而函数是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终.数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数.近十年来，高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线.

　　(二)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系.函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容.在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量如此生动的辩证统一，函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式.

　　所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑.高考试题涉及5个方面：(1)原始意义上的函数问题;(2)方程、不等式作为函数性质解决;(3)数列作为特殊的函数成为高考热点;(4)辅助函数法;(5)集合与映射，作为基本语言和工具出现在试题中.

　　(三)把握数形结合的特征和方法

　　函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换.

　　(四)认识函数思想的实质，强化应用意识

　　函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，求得问题的解决.纵观近几年高考题，考查函数思想方法尤其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想实质，强化应用意识.

　　参考答案

　　难点磁场

　　(1)证明：令x=y=0,得f(0)=0

　　令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)

　　∴f(x)是奇函数

　　(2)解：1°,任取实数x1、x2∈[-9,9]且x10,f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x1)=-f(x2-x1)

　　因为x>0时f(x)<0,∴f(x1)-f(x2)>0

　　∴f(x)在[-9，9]上是减函数

　　故f(x)的最大值为f(-9),最小值为f(9).

　　而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=-12,f(-9)=-f(9)=12.

　　∴f(x)在区间[-9，9]上的最大值为12，最小值为-12.

　　歼灭难点训练

　　一、1.解析：分类讨论当a>1时和当0

　　答案：C

　　2.解析：用特值法，根据题意，可设f(x)=x,g(x)=|x|,又设a=2,b=1,

　　则f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)-f(b)=f(2)-f(-1)=2+1=3.

　　g(b)-g(-a)=g(1)-g(-2)=1-2=-1.∴f(a)-f(-b)>g(1)-g(-2)=1-2=-1.

　　又f(b)-f(-a)=f(1)-f(-2)=1+2=3.

　　g(a)-g(-b)=g(2)-g(1)=2-1=1,∴f(b)-f(-a)=g(a)-g(-b).

　　即①与③成立.

　　答案：C

　　二、3.解析：设2x=t>0，则原方程可变为t2+at+a+1=0 ①

　　方程①有两个正实根，则 解得：a∈(-1,2-2 .

　　答案：(-1，2-2 三、4.解：(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此时f(x)为偶函数;当a≠0时，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a).此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶

　　函数.

　　(2)①当x≤a时，函数f(x)=x2-x+a+1=(x- )2+a+ ,若a≤ ,则函数f(x)在(-∞,a 上单调递减，从而，函数f(x)在(-∞,a 上的最小值为f(a)=a2+1.

　　若a> ,则函数f(x)在(-∞,a 上的最小值为f( )= +a,且f( )≤f(a).

　　②当x≥a时，函数f(x)=x2+x-a+1=(x+ )2-a+ ;当a≤- 时，则函数f(x)在[a,+∞ 上的最小值为f(- )= -a,且f(- )≤f(a).若a>- ,则函数f(x)在[a,+∞)上单调递增，从而，函数f(x)在[a,+∞]上的最小值为f(a)=a2+1.

　　综上，当a≤- 时，函数f(x)的最小值是 -a,当- 时，函数f(x)的最小值是a+ .

　　5.(1)证明：由 得f(x)的定义域为(-1，1)，易判断f(x)在(-1，1)内是减函数.

　　(2)证明：∵f(0)= ,∴f--1( )=0,即x= 是方程f--1(x)=0的一个解.若方程f--1(x)=0还有另一个解x0≠ ,则f--1(x0)=0,由反函数的定义知f(0)=x0≠ ,与已知矛盾，故方程f--1(x)=0有惟一解.

　　(3)解：f[x(x- )]< ,即f[x(x- )]

　　6.证明：对f(x)+f(y)=f( )中的x,y,令x=y=0,得f(0)=0,再令y=-x,又得f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),∴f(x)在x∈(-1,1)上是奇函数.设-10.∴ <0,于是由②知f( )>0,从而f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故f(x)在x∈(-1,0)上是单调递减函数.根据奇函数的图象关于原点对称，知f(x)在x∈(0,1)上仍是递减函数，且f(x)<0.

　　7.解：(1)因污水处理水池的长为x米，则宽为 米，总造价y=400(2x+2× )+248× ×2+80×200=800(x+ )+1600,由题设条件

　　解得12.5≤x≤16,即函数定义域为[12.5，16].

　　(2)先研究函数y=f(x)=800(x+ )+16000在[12.5,16]上的单调性，对于任意的x1,x2∈[12.5,16],不妨设x11,即1- <0.又x2-x1>0,∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)

　　综上，当污水处理池的长为16米，宽为12.5米时，总造价最低，最低为45000元.

　　8.解：∵f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，∴f(x)在(-∞,0)上也是增函数.

　　又f(1)=0,∴f(-1)=-f(1)=0,从而，当f(x)<0时，有x<-1或0

　　则集合N={m|f[g(θ)]<θ= ={m|g(θ)<-1或0

　　∴M∩N={m|g(θ)<-1 .由g(θ)<-1,得cos2θ>m(cosθ-2)+2,θ∈[0, ],令x=cosθ,x∈[0,1]得：x2>m(x-2)+2,x∈[0,1]，令①：y1=x2,x∈[0,1]及②y2=m(m-2)+2,显然①为抛物线一段，②是过(2，2)点的直线系，在同一坐标系内由x∈[0,1]得y1>y2.∴m>4-2 ,故M∩N={m|m>4-2 }.