数学1:函数的极值

函数的极值

　　如果函数f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x，f(x)f(x0)均成立，就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。

　　在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点定是它的驻点(导数为0的点)，但函数的驻点却不一定是极值点。

　　定理(函数取得极值的要条件)设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，那么函数在x0的导数为零，即f’(x0)=0.定理(函数取得极值的第一种充分条件)设函数f(x)在x0一个邻域内可导，且f’(x0)=0，那么：(1)如果当x取x0左侧临近的值时，f’(x)恒为正当x去x0右侧临近的值时，f’(x)恒为负，那么函数f(x)在x0处取得极大值(2)如果当x取x0左侧临近的值时，f’(x)恒为负当x去x0右侧临近的值时，f’(x)恒为正，那么函数f(x)在x0处取得极小值(3)如果当x取x0左右两侧临近的值时，f’(x)恒为正或恒为负，那么函数f(x)在x0处没有极值。

　　定理(函数取得极值的第二种充分条件)设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f’(x0)=0，f’’(x0)&ne0那么：(1)当f’’(x0)0时，函数f(x)在x0处取得极小值驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。