解放军文职招聘考试刘徽的重差术

 刘徽的重差术

　　重差术是中国古代的一种重要测量方法，用以测量不可到达的距离．刘徽对这一理论进行了总结和提高，写出重差术专著---《海岛算经》(即《重差》)．他在序言中说：“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差．”全书只有九道题，但很有代表性．

　　例如第一题(译为今文)：为测量海岛，立两根3丈高的标杆，前后相距1000步，令后杆与前杆对齐．从前杆后退123步，人眼着地看岛峰，视线正好过杆顶．从后杆后退127步，人眼着地看岛峰，视线也过杆顶．问岛高和岛离杆的距离各是多少？

　　按题意画图如下：

　　因当时1步为6尺，故标杆高5步．由刘徽术文，得

　　若用字母表示，则

　　因公式中用到d(两杆与岛的距离差)和a1-a2两差之比，所以叫重差术．这是书中最简单的一题，只须测望二次．其他问题往往要测望三次或四次，但原理与本题相同．刘徽曾著《重差图》和《重差注》，可能是用来推导术文的，已佚．估计刘徽的推导方法不外两种，一是利用出入相补，二是利用相似三角形．

　　如果用三角知识去解重差问题，结果也是一样的．中国传统数学无三角，重差术便起着与西方平面三角类似的作用，这是中国数学的特色之一．

四、刘徽的学术思想

　　刘徽所以能在数学上取得卓越成就，是与他先进的学术思想分不开的．概括起来，他的学术思想有如下特点．

　　1．富于批判精神．刘徽在数学研究中不迷信权威，也不盲目地踩着前人的脚印走，而是有自己的主见．他曾一针见血地指出张衡关于球体积的不正确观点，还批评了那种泥守古人“周三径一”的踵古思想，说：“学者踵古，习其谬失．”刘徽正是因为有这种可贵的批判精神，才在研究《九章算术》时发现许多问题，从而深入探讨，写出名垂千古的《九章算术注》．

　　2．注意寻求数学内部的联系．刘徽在《九章算术注》的序言中说：“事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已．”不难看出，他的整个数学研究都贯穿了这一思想．例如，他把许多平面几何问题归为出入相补，把许多体积公式的推导归为刘徽原理，把各种比例问题归为今有术，以及用重差术的一般方法解决各种测量问题，都是这一思想的体现．

　　3．注意把数学的逻辑性和直观性结合起来．刘徽主张“析理以辞，解体用图”，就是说问题的理论分析要用明确的语言表达，空间图形的分解要用图形显示，也就是理论和直观并用．他认为只有这样才能使数学既简又明．实际上，他对原书和《九章算术注》中提出的重要数学概念，都给出明确定义．他对定理、公式的证明基本上采取演绎法，推理相当严密．例如，他从长方体体积公式出发，运用极限观念，证明了阳马定理，又用阳马定理证明了棱锥、棱台的体积公式，然后根据刘徽原理推出圆锥、圆台的体积公式，是一环扣一环的．另一方面，刘徽也很注意数学的直观．他常借助图形来证明平面几何定理，称为图验法；借助立体模型来研究开立方和推导体积公式，称为棋验法(刘徽称特定的立体模型为棋)．有时，他还在证明过程中辅之以剪贴和涂色的方法．总之，他在数学研究中既注意逻辑推理，又注意运用直观手段，所以他的理论明白易懂．

五、与刘徽同时代的数学家---赵爽

　　赵爽是三国时代吴国数学家．他与刘徽一南一北，各自独立地进行数学研究，刘注《九章算术》而赵注《周髀算经》．虽然《周髀算经注》没有《九章算术注》那样精采，但其中也有不少独到见解．尤其是一段名为“勾股圆方图”的论文，是数学史上的珍贵文献．文中给出勾股定理的证明，并导出勾、股、弦及其和差互求的24条命题．令人惊讶的是，这样丰富的内容，竟包含在仅五百余字的论文中，可见语言之精炼．下面便根据赵爽的弦图及注文，介绍他证明勾股定理的方法．

　　弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形(图4．21)，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红(朱)色及黄色，其面积称朱实、黄实．因为勾×股=2朱实，所以2×勾×股=4朱实，又因为(股-勾)2=黄实，所以

　　2×勾×股+(股-勾)2＝4朱实+黄实=弦实．

　　化简，得 勾2+股2=弦2．

　　另外，赵爽在《周髀算经注》中还给出并证明了日高术，构思十分巧妙．其术为：在地面上立两根高为h的表(标杆)AB和CD，它们之间距离为d，太阳照表，得影长a1，a2，则

　　赵爽画日高图如图4．22，证明思路如下：

　　由出入相补原理，得

　　□HC=□CN，□GC=□AN(□表矩形面积)．

　　相减，得

　　□HJ=□CB，

　　∴(a1-a2)×HI＝dh，

　　赵爽的这种出入相补方法对后世有一定影响，只是由于日高术假定大地是平面，所以不可能得到日高的正确数值．