解放军文职招聘考试无穷级数

 无穷级数

　　无穷级数是18世纪英国数学留给人们的最后成就，要不是泰勒级数与马克劳林级数这两个今天仍在使用的名称，18世纪数学很可能就没有英伦三岛的影响了．泰勒于1685年8月18日出生于爱丁堡，1731年12月29日在伦敦去世．他曾就读于剑桥大学圣约翰学院，是牛顿的崇拜者．1715年他发表了《增量方法及其逆》(Methodus Incrementorum Directa et Inversa)，奠定了有限差分法的基础．17世纪，牛顿、莱布尼茨等人曾研究过有限差分问题，泰勒的工作则使有限差分法从局限的方法(如二项式定理、有理函数的长除法、待定系数法等等)过渡到了一般的方法．这本书中他给出了单变量幂级数展开的著名公式，即泰勒级数

　　1717年他运用这个级数求解数字方程，取得了很好的结果．但是他的证明是不严格的而且没有考虑收敛问题，在当时影响并不太大．直到1755年，欧拉在微分学中应用泰勒级数，并且推广到多元函数，才使其影响大增．随后拉格朗日用带余级数作为其函数论的基础，才正式确立了其重要性．19世纪，柯西(A．L．Cauchy)为泰勒级数给出了严格的证明．

　　马克劳林是数学史上的奇才之一．11岁就考上了格拉斯哥大学，15岁取得硕士学位．27岁时成为爱丁堡大学数学教授助理．他与牛顿关系极好，牛顿曾为他提供了生活、研究经费．牛顿又推荐他继承了詹姆士·格雷戈里(James Gregory，1638—1675)曾担任的数学教授．他在几何理论、潮汐的数学理论方面做了许多有价值的工作．1742年，发表《流数论》(Treatise ofFluxions)一书，书中给出了著名的马克劳林级数

　　在书中他说明这个结论只是泰勒级数h＝0时的特殊情形，但历史上却依然单独命名归功于他．《流数论》一书的真正贡献却是对牛顿流数法给出了第一篇合乎逻辑的、系统的解说，部分地回答了贝克莱(B．Berkeley，1685—1753)等对微积分的诘难，捍卫了牛顿的学说．

　　级数方面真正广阔的工作是1730年左右从欧拉开始的．欧拉得出了许多美妙的结论，尽管其过程是不够严格、甚至错误的．1734—1735

将此式看作为无穷次的多项式，利用代数方程根与系数的关系，得到了下列关系式：

等关系式．同时他还第一次给出了关系式

　　他的论据很简单，sinx=0的根有±π，±2π，±3π…，类似于每个多项式的每个根都必有一个一次因式，因此sinx有因式(x－π)，(x＋π)，(x－2π)，(x＋2π)，(x-3π)，(x＋3π)…，因此有上述等式．令上述等式为0，应用根与系数的 　

　　令x=1，2，3，…，n，得到

　　…，这是数学中的一个重要常数，到今天人们依然不知道它是有理数还是无理数、代数数还是超越数．

　　无穷级数中另一类重要的数是贝努利数，这是詹姆士·贝努利在求整数的正n次幂之和的公式中给出的：

　　这个式子一直加到n的最后一个正幂为止．B2，B4，B6…是贝努利数，

了可以计算这些系数的递推公式．利用这种贝努利系数，他计算出前1000 　

　　利用贝努利数，18世纪出现了一批极漂亮的无穷级数表达式．欧拉

　　1730年，斯特灵(J．Stirling，1692—1770)得到了

称这个式子为斯特灵逼近．

　　到18世纪时，各种函数的展开式都陆续得到了．如牛顿二项式定理 

(1＋x)，arc sinx的展开式，莱布尼茨等得到了sinx，cosx，arc tgx及其他各种展开式．当然，泰勒级数为各种函数展开式提供了最一般的方法．因此，18世纪无穷级数在广度上得到了长足的发展．

　　自从欧拉发现了三角函数的周期性后，由于天文现象大都是周期的，因此为了研究天文学，三角级数在18世纪受到了数学家们的广泛重视．1729年，欧拉遇到了这样的插值问题：已知一个函数在x＝n处的值(n为正整数)，求f(x)在其他x处的值．在对这个问题的研究中，他得到了

　　1754—1755年，欧拉还得到函数的三角级数

　　(0-π＜x＜π)．

　　1757年，克莱罗在研究太阳摄动问题时宣称，他将把任何一个函数

的正确公式．1777年，欧拉在研究天文学时，用三角函数的正交性得到

　　三角级数的重要性使得人们在不断地进行着这样的努力，即把所有类型的函数都表示成三角函数．但是欧拉等数学大师却对此持怀疑态度．因此，是否任何函数都能展成三角级数就成了人们关注的问题．随着物理研究，特别是热学、声学的进展，三角级数越来越为人们所重视，三角级数的真正突破性进展是在19世纪，不仅如此，三角级数还带来了19世纪纯数学理论的突破．18世纪三角级数的工作只不过是19世纪的先声．

　　早在1668年，詹姆士·格雷格利(James Gregory)就开始使用“收敛”与“发散”的名称，牛顿、莱布尼茨等人也注意到了这个问题，1713年10月25日莱布尼茨甚至在给约翰·贝努利的信中明确地提出了今天

达朗贝尔等也注意到了收敛问题．1768年，达朗贝尔给出了今天的“达 　

＋x+x2+x3＋…中令x=2，出现了-1＝1＋2＋4＋8＋…的式子，欧拉 　

行纯形式的推导，出现了许多荒谬的结果．

　　18世纪无穷级数方面的工作除了得到许多漂亮、美妙的结果外，主要是发展了两个富有生命力的思想．其一是发散级数可以用来逼近函数，这一点对函数逼近论极为有用；其二是级数在解析运算中代表函数，这样就为函数论注入了新的活力．至于严格性问题，则几乎全部留给19世纪了．