解放军文职招聘考试数学分析的严密化

 数学分析的严密化

一、数学分析的严密化

　　数学分析的严密化，起源于人们对微积分中混乱现象的不满．长期以来，函数、极限、连续等概念非常模糊，人们不问级数是否收敛，任意进行演算，可导(导数)、可积(积分)的概念及相互关系都很不清楚．所有这些，极大地妨碍了微积分以及整个数学分析的进一步发展．面对这种状况，不少数学家提出了彻底改变分析基础不能令人满意的状况的呼吁，许多数学家还在一定程度上为数学的严密化奠定了新的基础．随着数学发展的日趋繁荣，到19世纪时，为数学分析奠定基础的任务迫在眉睫．

　　微积分的严密化及其整个基础的建立，主要归功于波尔察诺(B．Bolzano，1781—1848)、柯西、阿贝尔、狄利克雷、达布(J.G.Darboux，1842—1917)、魏尔斯特拉斯、黎曼等人．19世纪后期戴德金、皮亚诺(G．Peano，1858—1932)，尤其是康托尔的工作则把整个分析的严密化推向了一个新的高度．

　　柯西是一位十分高产的、在数学许多领域作出了伟大贡献的天才．在分析严密化的过程中，他的贡献可以与罗巴切夫斯基在几何学、阿贝尔与伽罗瓦在代数学中的贡献媲美．他一生著作甚丰，全集有800余篇论文计27卷之多，其中在分析基础方面的著作主要有：《代数分析教程》(1821)(Coursd′analyse algébrique)、《无穷小分析概论》(1823)(Résumé deslecons Sur le Calcul infini－tesimal)》、微分计算教程》(Leco－ns Sur le Calcul diféfrentiel)(1829)，等等．在函数的定义、连续、极限、导数理论、定积分理论方面以及级数的收敛诸方面，他都给出了相当严密的理论．正是通过他的工作，才有了今天大学生们所学习的这种形式的微积分．但是，我们应该注意到，“柯西的成就，尽管杰出，但并不是独一无二的，他的同时代人波尔察诺作出了许多类似的发现．”1817年波尔察诺就得到了后来柯西等人得到的结果，只是由于其著作直到1850年才发表出来，因而他的大部分工作湮没无闻．

附：十九世纪的数学学会与数学期刊

　　随着近代科学的诞生，数学在各种科学院、学会和期刊中就占据了重要的地位．1662年成立的英国皇家学会，1666年成立的法国科学院，1700年成立的柏林科学院，1724年成立的彼得堡科学院，都有为数众多的数学家．1665年开始出版的第一批科学刊物《博学者杂志》(Journaldes Savants)、《皇家学会哲学汇刊》(Philosoplngical Transactions of the Royal Soci－ety)就刊有数学文章，在1700年以前，约有17种杂志刊登数学文章．值得指出的是，1619年牛津大学首先设立了数学教授席位，其后1663年在剑桥大学设立了著名的卢卡斯(Lucas)数学教授席位．18世纪大约有200种期刊杂志发表数学文章，其中1794年创刊的法国《高等工艺学院学报》最引人注目．

　　1810年出现了第一份纯数学的杂志《纯粹与应用数学记事》(Annaler de Mathématique Pures et Appliquées)，它是由热尔岗(J．Gergonne，1771—1859)创办的，一直持续到1831年．1826年，克雷尔(A．L．Crelle，1780—1855)创办了德文版《纯数学与应用数学杂志》(Journal de Math′e－matiques Pures et appliquees)，历史上称为《克雷尔杂志》．1836年刘维尔创办了法文版《纯粹与应用数学杂志》(Journalde Mathématiques Pures et Appliquées)，史称《刘维尔杂志》．这两个杂志刊登了19世纪许多著名数学家的论文，尤其是它们发表了阿贝尔、伽罗瓦等人被埋没的文章，因而在数学史上享有极高声誉．此外，1841年创刊的《数学和物理成就》(Archiv der Mathemetik und Physik)， 1842年创刊的《新数学年刊》(Nouvells annales de math′ematies)都属于较早的数学专业期刊．19世纪后半叶数学期刊就更多了，其中主要有1870年达布创办的《数学科学通报》(Le Bull－etin des Sciences Mathématiques)，1868年创刊的《数学记事》(Mathematische Annalen，1868)，1882年创刊的《数学学报》(Acta Mathematica)，以及1878年由西尔维斯特创办的第一个美国数学杂志《美国数学杂志》(AmericanJournal of Mathematics)．出版高质量数学杂志的语言在19世纪末已近十种．刊登数学研究成果的刊物达950种．

　　19世纪许多国家成立了数学会．1865年成立了世界第一个数学会——伦敦数学会，(London Mathematical Society)1872年成立了法国数学会(Société Mathématique deFrance)．1884年，意大利成立了数学会，与此同时，爱丁堡数学会也成立了．1888年成立了美国数学会(The AmericanMathematical Society)．1890年成立了德国数学家协会(Deutsche Mathematiker Vereingung)．1887年成立了日本数学会的前身——东京数学会．

　　每个数学会都出版自己的刊物，有的甚至出版几种杂志，每个学会还致力于数学教育，因而为数学发展创造了良好环境．

　　到19世纪末叶，数学研究日趋复杂、深入，因而使得纵览、研究全部数学变得极为困难．在这种情况下，人们开始计划编写数学百科全书．1898年由迈尔(F．Mayer)首先倡导，在柏林科学院的支持下，开始编

　　这是19世纪数学的鸟瞰图．这件巨大的工程直到20世纪才完成．这是今日各种数学百科全书的先声．