解放军文职招聘考试泛函分析

 泛函分析

　　泛函分析是一门新兴学科，1932年才被正式列入德国《数学文摘》．“泛函分析”这个词首先出现于列维(P．Lévy，1886—1971)的1922年出版的《泛函分析教程》中．它是一门分析学科，但与传统的分析学科不太一样，后者强调演算，而前者强调概念．它们的对象也有所不同，后者主要讨论个别函数(类)的性质，而前者主要讨论函数空间及其上算子的集合，特别是其上的拓扑、代数及序结构．不过很难说它有一个统一的对象及目标．泛函分析大致可分为四大块：一是函数空间理论，从希尔伯特空间、巴拿赫空间到一般拓扑线性空间的理论．二是函数空间上的分析，这是最先发展的一部分，即所谓泛函演算．三是函数空间之间的映射及算子理论，发展最成熟的是希尔伯特空间中的线性算子理论．四是算子(或函数)集合的代数结构，如巴拿赫代数、冯·诺伊曼代数、C*代数以及算子半群等理论．

　　泛函分析的来源可以追溯到18世纪变分法的产生．正如微积分研究函数的极值一样，变分法研究函数集(空间)上的函数——泛函的极值．而泛函分析的直接推动力则是19世纪末兴起的积分方程的研究．它导致线性泛函分析的诞生．

　　泛函分析的发展可分三个时期：

　　第一阶段是创始时期，大约从19世纪80年代到20世纪20年代．开始是意大利一些数学家引进泛函演算，特别是他们引进原始泛函以及线性算子的概念．后来法国数学家发展了泛函演算，这反映在阿达马(J．Hadamard)在1897年第一次国际数学家大会上的报告中．他为了研究偏微分方程而考虑了闭区间[0，1]上全体连续函数所构成的族，发现这些函数构成一个无穷维的线性空间，并于1903年定义了这个空间上的函数，即泛函．这些还只是具体的结果．

　　法国数学家弗雷歇利用当时的集合论观念把前人的结果统一成为一个抽象的理论，他把他们的共同点归纳起来而且加以推广：

　　(1)把函数或曲线看成一个集合或空间中的点．不妨把它们看成一个抽象集合．

　　(2)点列的极限概念也可以推广，这样有极限概念的集合他称为L空间，这是后来拓扑空间的萌芽．

　　(3)集合上可以定义取值在实数里的实函数，即泛函．由于有了极限概念，就可以定义泛函的连续性．

　　(4)泛函可以进行代数运算，也可以进行分析演算，比如微分．这样就成为名符其实的泛函分析了．

　　1906年他还在抽象的空间中引进“距离”的观念，具有欧几里得空间距离的性质，这种空间就有更丰富的结构．

　　 大约在弗雷歇同时，希尔伯特对于积分方程进行系统的研究．他在前人基础上，深刻认识积分方程与无穷多变无线性方程组之间的相似性，积分方程的有解性与无穷多变元的收敛性条件有关．这样他实际上得到了具体的希尔伯特空间的理论．抽象的希尔伯特空间理论是他的学生施密特(E．Schmidt，1876—1959)得到的．他引进实和复的希尔伯特空间的几何观念，把函数看成是平方可积序列的空间(l2空间)的点．1907年，匈牙利数学家黎斯(F．Riesz，1880—1956)等人引进勒贝格平方可积空间(L2空间)，发现其性质和l2空间相同，两个月之后，德国数学家费歇尔(E．Fischer，1875—1959)与黎斯(M．Riesz，1886—1969)证明l2空间和L2空间同构，只不过是同一种抽象希尔伯特空间的两种具体表现而已．这也反映出研究抽象空间的重要意义．黎斯—费歇尔定理也更清楚表明积分理论和抽象空间的泛函之间的紧密联系．

　　1910年黎斯仿照L2空间研究了Lp空间(1＜p＜∞)就是p次方可积函数全体构成的空间，后又研究lp空间，它们不是希尔伯特空间，而是巴拿赫(S．Banach，1892—1945)空间．他发现lp上连续线性泛函全体

 方面是不可少的工具．

　　第二阶段泛函分析正式发展成为一门学科， 1920年到1922年间奥地利数学家哈恩(H．Hahn，1879—1934)，海莱(E．Helly，1884—1943)，维纳(N．Wiener，1894—1964)和巴拿赫都对赋范空间进行定义并加以研究，海莱还得到所谓哈恩——巴拿赫定理．但对泛函分析贡献最杰出的是巴拿赫．他进一步把希尔伯特空间推广成巴拿赫空间，用公理加以刻划，形成了系统的理论．他在1932年出版的《线性算子论》一书统一了当时泛函分析众多成果，成为泛函分析第一本经典著作．

　　这时泛函分析不仅理论上比较完备，而且在古典分析的应用上起着举足轻重的作用，其中特别是波兰数学家肖德尔(J．Schauder，1899—1940)和法国数学家勒瑞(J．Leray，1906—)的不动点理论是现代偏微分方程理论的重要工具．他们把微分方程的解看成巴拿赫空间到自身映射的不动点，得出了基本定理，这是现代非线性泛函分析的出发点．

　　1926年冯·诺伊曼来到哥丁根大学，当时正是哥丁根物理学与数学的全盛时代．量子力学的产生和抽象代数、泛函分析的发展使人们思想空前活跃．冯·诺伊曼把希尔伯特空间公理化，并把量子力学的数学基础建立在泛函分析之上．虽然冯·诺伊曼的公理的来源可以从维纳、外尔和巴拿赫的工作中看到，但冯·诺伊曼的工作更为系统，特别是他关于厄米算子的谱理论．

　　三十年代末，波兰数学家马祖尔(S．Mazur，1905—1981)与苏联数学家盖尔范德(Ц.М.Гельфанд，1913—)发展巴拿赫代数(赋范环)理论，而且通过抽象方法轻而易举证明古典分析中的大定理．这显示了泛函分析方法的威力，也论证了泛函分析的独立存在的价值．

　　第三阶段是泛函分析的成熟阶段．从40年代起泛函分析在各方面取得突飞猛进的发展．头等重要的事是施瓦兹(L．Schwar－tz 1915—)系统地发展了广义函数论，它现在已成为数学中不可缺少的重要工具．它的前身就是狄拉克(P．Dirac，1902—1984)在量子力学中引进的δ函数．

　　第二次世界大战以后，泛函分析取得突飞猛进的发展：1920年到1940年间所发展的局部凸向量空间理论的技术在1945年后主要通过沙顿(R．Schatten，1911—)及格罗登迪克(A．Grothendieck，1927—)引入拓扑张量积的理论而完成．在这个理论的发展过程中，格罗登迪克引进一种新型的拓扑凸空间一核空间，它在许多方面比巴拿赫空间还接近于有限维空间，并且具有许多卓越的性质，使它在泛函分析及概率论的许多分支中证明是非常有用的．

　　巴拿赫时代就提出来的两个老问题直到1973年才被恩福楼(P．Enflo)否定解决掉：他造出一个可分巴拿赫空间，其中不存在(巴拿赫意义下的)基；他还造出一个可分巴拿赫空间的紧算子的例子，它不是有限秩算子(关于紧集上的一致收敛拓扑)的极限．

　　1900年到 1930年间由希尔伯特、卡勒曼(T．Carleman，1892—1949)及冯·诺伊曼所发展的希尔伯特空间的算子谱理论由于盖尔范德及其学派于1941年所创始的巴拿赫代数理论而大大简化及推广．但是，这个理论中最有趣的部分仍然是冯·诺伊曼代数的研究．冯·诺伊曼代数的研究开始得稍早一些，它和希尔伯特空间中局部紧群的酉表示理论有着非常紧密的联系．在冯·诺伊曼的先驱性文章之后，这些代数的分类并没有取得多少进步，特别是相当神秘的“Ⅲ”型因子．到1967年，不同构的Ⅲ型因子只知道三个．其后，事情开始发展很快，几年之内许多数学家发现了新的Ⅲ型因子，一直到1972年到达顶点，发展成一般的分类理论，这个分类理论是建立在富田稔(1924—)的思想及康耐(A．Connes，1947—)定义的新的不变量的基础上的，康耐的不变量使他解决了冯·诺伊曼代数理论中许多未解决的问题．