解放军文职招聘考试应用数学

 应用数学

　　数学并不是一门自然科学，它不讨论外在世界的实体与现象以及它们之间的相互关系．但是，长期以来，数学的成果却是与天文学、地理学、物理学(包括力学)乃至其他自然科学的研究联系在一起的．在这种背景之下，纯粹数学家、应用数学家、计算数学家往往三者集于一身，牛顿、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、高斯就是这方面的突出代表．19世纪中期以后，随着专业化的发展，除了最优秀的大数学家之外，只能在一个狭窄专业里取得一定成就，而且纯粹数学家以搞纯正的数学问题(如数论问题)为荣，对于应用数学不屑一顾，甚至一些应用数学家也以进行数值计算为耻，认为这些是下手活．这种分化对于整个数学乃至自然科学的发展是不利的．尽管如此，最优秀的一些数学家仍然在理论数学、应用数学甚至数值方法诸方面均作出一定的贡献．其中有法国的傅里叶、柯西、刘维尔·厄米特一直到庞加莱，德国的雅可比、狄里克雷、黎曼一直到克莱因、希尔伯特及闵科夫斯基．19世纪末开始编纂的德国《数学科学百科全书》公平地把数学一分为二：前半分为数论和代数、分析及几何学三部分，后半分为力学、物理学、天文学及测地学三部分．在克莱因的倡导下，应用数学受到一定的重视并且取得巨大的成绩．但同时国际上也越来越兴起越无用越纯粹的数学越好的说法：德国的数论专家朗道等讥讽普兰托(L．Prandtl，1875—1953)等搞的应用数学为“润滑油技师”，英国的哈代说自己搞的数学都是没用的，而法国的两代数学家，20世纪初的函数论学派以及30年代兴起的布尔巴基学派都是以抽象为荣．直到第二次世界大战前后，纯粹数学、应用数学及计算数学和它们之间的关系有了巨大的变化，这表现在：

　　1．应用数学的领域大大扩展了，它不仅把以微分方程为主的数学物理学扩展到化学、生物学、地学乃至社会科学，而且所用的数学工具也扩张到群论、微分几何学、拓扑学．

　　2．随着电子计算机的出现，数值方法必需要适应机器的需要，从而使应用数学取得越来越多的成果．

　　3．反过来，应用数学的发展及计算机上的数值试验也推动了一系列纯粹数学问题的提出及解决，如唐纳逊由规范场理论出发导致四维拓扑学的突破，计算机试验导致KdV方程的解．

一、数学物理学

　　第二次世界大战之前，物理学的各项重大成就都与数学及数学家的贡献分不开．在爱因斯坦于1905年发表狭义相对论之前，对该理论贡献最大的有荷兰物理学家洛伦兹(H．A．Lorentz，1853—1928)与法国大数学家庞加莱，而且有人认为庞加莱有不亚于爱因斯坦的功绩．为了对它给出数学表述，1907年闵科夫斯基第一个提出四维时空(即闵科夫斯基空间)概念，他的思想后来还引导爱因斯坦走向广义相对论．1912年爱因斯坦在他的同学格罗斯曼(M．Grossmann，1878—1936)的帮助下，发现数学家早已发展起来的黎曼几何学及张量分析是广义相对论的适用工具．他于1915年11月25日最后得出对坐标变换协变的引力方程，稍早一些，希尔伯特也独立地得出该方程．1918年，外尔在他的《时间、空间和物质》(Raum， Zeit， Materie)中首次进行统一引力场及电磁场的尝试，虽然没有成功，但他提出的“规范不变性”的概念在二次大战后直接导致规范理论的发展．

　　同时，克莱因、希尔伯特及E·诺特利用不变式理论得出物理原理，特别是诺特原理，它把对称变换的不变性与物理量的守恒性联系在一起．

　　1900年，德国数学家普朗克(M．Planck，1858—1947)提出量子概念，到1925年发展成海森伯(W.Heisenberg，1901—1976)的矩

 ，这标志着量子力学的诞生．而1924年出版的库朗—希尔伯特《数学物理方法》(Methodender Mathematischen Physik)I似乎早就为物理学准备好数学工具．矩阵力学及波动力学的等价性早在20多年前已在希尔伯特的掌握之中．海森伯写道“希尔伯特对哥廷根量子力学的发展的影响最为巨大．……现已表明，量子力学的数学方法原来是希尔伯特积分方程理论的直接应用”．希尔伯特说“无穷多个变量的理论研究，完全出于纯数学的兴趣，我甚至管这个理论叫‘谱分析’，当时也没有预料到它后来在实际的物理学光谱理论中获得应用”．希尔伯特同诺德海姆(Nord-heim，)及冯·诺伊曼合写了《量子力学的公理基础》．冯·诺伊曼发展了希尔伯特空间及其算子理论，他推广希尔伯特的自伴算子成为量子力学适用的厄米特算子并发展其谱理论从而给量子力学建立了完整的数学基础．他的《量子力学的数学基础》(1932)成为这方面的经典著作．

　　第二次世界大战后，基本粒子的分类及规范场理论深刻地影响物理及数学的发展，由于李群表示论及代数几何学的进步，超弦理论成为当前最广泛的大统一场论．