第2章  质点动力学

一、目的与要求

1．准确理解牛顿运动三定律的内容及实质，明确牛顿运动定律的适用范围和条件。

2．熟练掌握隔离法分析物体受力和解题的基本思路及方法，了解惯性力的概念和特点，知道在非惯性系中运用牛顿运动定律处理一般动力学问题的方法。

3．准确理解功的概念，会计算变力的功。明确动能、势能的定义及功和能的联系与区别。

4．掌握动能定理和机械能守恒定律的物理意义和使用条件，并能熟练运用。

5．确切理解动量、冲量的概念，掌握动量定律和动量守恒定律，并能熟练应用。

6．了解质心的概念和质心运动定律。

二、内容提要

1．牛顿运动定律

（1）牛顿运动三定律

第一定律：任何质点都保持静止或匀速直线运动状态，直到其它物体对它作用的力迫使它改变这种状态为止。牛顿运动第一定律给出了惯性和力的概念。

第二定律：物体运动状态的变化与物体所受的合力成正比。

当为常量时，

第三定律：当物体以力作用于物体时，物体也同时以力作用于物体上，力和总是大小相等，方向相反，且作用在同一直线上，其关系式为

力满足叠加原理：

几种常见的力

万有引力：

重力：

弹簧弹性力：

静摩擦力：      最大静摩擦力

滑动摩擦力：

（2）运动学解题基本思路：① 选择研究对象；② 分析受力情况（画出受力图）；③ 选择适当坐标系，列方程求解；④ 进行必要的讨论。

2．功和能及其守恒定律

（1）功：质点在力的作用下产生位移，则定义和位移的标积为该力做的功。

对于从到的有限过程

重力的功：

万有引力的功：

弹簧弹性力的功：

（2）动能定理

质点的动能定理：

质点系的动能定理：

式中为所有外力功的总和，为所有内力功的总和。

（3）保守力和势能

做功与物体经过的路径无关的力称为保守力，对保守力可引入势能的概念。

势能：

重力势能：（势能零点选在处）

万有引力势能：（势能零点选在无穷远）

弹簧弹性势能：（势能零点选在原长处）

保守力与势能的微分关系

  或  

（3）机械能守恒定律：在只有保守力做功的情况下，系统的机械能保持不变，即

常量

3．动量、角动量及其守恒定律

（1）动量定理及动量守恒定律

动量定理：合外力的冲量等于质点动量的增量。

动量守恒定律：系统所受合外力为零时，即，时

常矢量

（2）角动量定理及角动量守恒定律

角动量定理：对某一固定点O，质点（或质点系）所受合外力矩等于质点（或质点系）的角动量对间的变化率

角动量守恒：对某一固定点O，质点（或质点系）所受合外力矩为零，即时，质点（或质点系）对该点的角动量为常矢量，即常矢量。

4．质心和质心运动定理

质心：  或  

质心运动定理：

三、例题

2-1  以初速度竖直上抛的物体，其质量为，在运动过程中受到空气阻力与物体的速率成正比，设比例系数为，试求

（1）物体运动的速度随时间的变化规律。

（2）物体上升的最大高度。

分析  物体上升过程中受向下的重力、阻力作用，由牛顿定律形式积分可求；由牛顿定律积分可求上升的最大高度。

解  （1）物体上抛时，在运动过程中受到向下的重力，空气阻力。取地面为坐标原点，竖直向上为y轴正向，根据牛顿定律，有

(1)

即

由题意时，积分上式，有

得物体运动的速度为

（2）由（1）式，得

作积分变量替换，有

即

由题意时，，当物体达到最大高度时，物体速度为0，即，积分上式，有

物体上升的最大高度为

说明  这是一个变力问题。需注意的是空气阻力的方向与物体运动方向相反。（1）问中，对牛顿定律积分即可求得（2）问中，涉及到速度与位移的关系，积分变量替换非常重要，积分变量替换后，变量统一，然后通过积分即可求得，这种方法在许多问题中都有应用。

2-2  可以看作非弹性的金属小环组成的均质链条，堆放在光滑的水平桌面上（其堆放体的体积可忽略不计），它的一端从光滑的小孔由静止自由下落，没有进入小孔的链条在桌面上保持静止，试求下落的端点的运动学方程。

分析  链条落下部分质量是变化的，即，链条落下部分仅受重力作用，由牛顿定律通过积分运算即可求。

解  设链条落下部分的长度为，只有这一部分有加速度，其余部分仍为静止，根据牛顿定律并注意到此时落下部分质量是变化的，设链条的线密度为，则有

即

     

上式两边同乘以化简得

即

由题意时，积分上式

得

即

，

而，因此

时，积分上式

得链条下落端点的运动学方程为

说明  这是一个变质量问题，在此类问题中牛顿定律要采用形式而非形式，另外需注意的是链条在下落过程中，机械能不守恒。

2-3  如图(a)将一质量为的小环套在一绕竖直轴以每秒转的恒定转动杆上。杆与水平面成角。设小环与杆之间的最大静摩擦系数为，小环与转轴的距离为。问小环与杆保持相对静止时，应该在什么范围内。

分析  小环受重力，杆的支持力，摩擦力作用，摩擦力随着转速的不同在0和之间变化。因此向上或向下的最大静摩擦力使得杆转动速度有最大值和最小值。超出这个范围，小环就不会相对杆保持静止。

解  当较大时，小环有向上滑动趋势，摩擦力方向向下，小环受力如图(b)，按图有

当随增大到时，亦增大到，于是有

解得

当较小时，小环有向下滑动趋势，摩擦力方向向上，小环受力如图（c）类似上述分析，达到极限情况时，有

解得

可见要使小环与杆保持相对静止，应该在

即

说明  静摩擦力的方向总是与运动趋势相反。本题中，转速较大时，静摩擦力方向向下，而最大静摩擦力则对应于最大转速，同样，向上的最大静摩擦力对应于最小转速。

2-4  物体、的质量分别为和，设在水平桌面上的物体与桌面的摩擦系数，与跨过一定滑轮相连着细绳，滑轮的质量和滑轮受到的阻力均可忽略不计，桌子和物体放在一装置内（如图），此装置以的加速度向左运动，求此情况下绳子受到的张力。

分析  、两物体的相对加速度大小相同，由加速度变换可求出、两物体相对地面参考系加速度，在地面参考系中，列牛顿定律方程就可求解，当然也可以运动装置为参考系，在该参考系中应用牛顿定律求解，但要考虑惯性力。

解法一  以运动装置为动参考系，以地面为静止参考系，建立如图坐标系。设、两物体相对动参考系的加速度大小为，相对静止参考系的加速度分别为和。分析、两物体受力如图，在静止参考系中（惯性系），根据牛顿第二定律有

物体

物体

由加速度变换关系

联立以上方程组，求解可得

解法二  以该运动装置为非惯性系，这时和分别受到惯性力和，设此时，在非惯性系中的加速度为，分析其受力如图。

在非惯性系中，、两物体做为一整体沿、两物体运动方向的运动方程为

考虑到，代入上式可得

单独对物体，在此非惯性系中，水平方向的运动学方程为

将，代入上式可得

说明  这是一个运用牛顿定律求解的力学题目，正确分析受力是应用牛顿定律的前提。牛顿定律成立的参考系是惯性系，而在非惯性系中应用牛顿定律要引入惯性力，解法一在惯性系中求解，由物体在非惯性系中的相对加速度（、物体一致），运用速度变换给出惯性系中物体的加速度是解法一的关键。解法二中引入惯性力是关键。惯性力等于物体的质量乘以非惯性系加速度的负量。

2-5  在半径为的光滑球面顶点处，一质量为的小物体由静止开始下滑（如图）半球面固定不动。问当角为多大时，物体开始脱离半球面？此时物体的速率为多大？

分析  对于小物体由牛顿定律的切向方向分量式积分可求得物体运动的速率；由法向方向可求支持力，从而得到支持力与角关系，物体脱离半球面的条件是，由此求和。

解  如图所示，分析物体受力，由受力分析可列出物体的切向和法向运动方程为

切向：           (1)

法向： (2)

积分变量替换因此式（1）可化为

所以

由初始条件：   

积分上式

得

(3)

将（3）式代入（2）式可得

由上式可看出，在物体下落过程中，随着角的不断增大，值不断减小，当时，物体脱离球面，因而

     

此时，由（3）式得物体脱离球面的速率

说明  本题在自然坐标系中列出牛顿定律的分量式后，通过积分变量变换，即：，积分即可求速度（也可直接由机械能守恒求出）。要注意，物体脱离球面的条件。

2-6  一钢丝绳与圆柱表面间最大静摩擦系数为，绳与柱面相接触的一段所张的角为，当绳在柱面上沿图(a)所示方向将要滑动时，求绳两端张力与的大小之比，若用此钢丝绳吊1吨的机器，如将绳在横梁上绕3圈，设，则需用多大的力？

分析  在本题中绳上各段张力不一，取绳一微元，分析其受力，由绳微元平衡条件可建立张力与绳张角的微分关系，积分即可求张力与角的关系。

解  在绕于柱面的绳上取一长为的微小绳段为隔离体，其所张的角为，段的两端与其余部分相连结，沿两端的切向分别受张力和（如图b）。绳段还受柱面对它的支承力，沿半径向外，柱面对绳段的静摩擦力沿柱面的切向向左，且当绳即将滑动时，它应是最大静摩擦力，即，由于绳段尚末滑动，按牛顿第二定律，绳段切向和法向的分量式分别为

(1)

(2)

因有

将上式代入（1）、（2）式忽略二阶小量可得两端张力差为

将上式积分

即得绕于柱面的绳子两端的拉力之比为

即拉力之比随角的增大而按指数规律迅速增加，当吊1吨重机器时，吨，，可求得

这仅相当于提质量为3.5kg的一桶水，其差额完全由摩擦力承担了。把缆绳在岸边桩上绕几圈，就能将船舶系住，也是这个道理。

说明  绳子各处张力不一，所以取绳一小微元分析是解本题的关键。本题在实际过程中有很多应用，题中用缆绳系住船舶就是其中一例。

2-7  质量为的小环穿在通过坐标原点并绕竖直轴以匀角速度转动、形为的钢丝上，如果要使小环在钢丝上任何位置都能处于相对钢丝不动，求钢丝的形状及平衡时钢丝对小环的作用力。

分析  小环在重力，支持力作用下做角速度为的圆周运动，在直角坐标系下由牛顿定律同时考虑到即可建立轨迹的微分方程。积分即可求钢丝形状。

解  把小环作为研究对象分析受力如图，由题意建立直角坐标系如图，钢丝绕轴匀角速度转动，要使小环相对钢丝不动，由牛顿定律

方向： (1)

方向： (2)

两式相除得

注意到

因此

由题意：时，。积分上式

得

即钢丝形状为一抛物线。

由（2）式得钢丝对小环的作用力

说明  本题关键在于切线关系式，由此就可建立起曲线轨迹的微分方程。

2-8  如图所示。一根匀质绳子，其单位长度上的质量为，盘绕在一张光滑的水平桌面上，初始时刻由静止拉起，如（1）以一恒定的加速度竖直向上提绳和以一恒定的速率竖直向上提绳，作用于绳端的力各为多少？（2）以一恒定的力F竖直向上提绳，当提起的高度为时，绳端的速度为多少？

分析  由于提起绳子的质量随被提起的高度变化，所以所受重力也随高度变化。根据牛顿定律即可求解。

解  取被提起的绳为研究对象，它受到拉力和重力的作用，根据牛顿定律有

即

（1）

（1）当加速度恒定时，由及初始时，可得

把上式代入（1）式得

当速度恒定时，此时，由（1）式得

（2）当力恒定时，由（1）式知

（2）

而

代入到（2）式并两边乘以得

(3)

（3）式两边乘以整理后得

时，，积分上式

得

所以绳端的速度为

说明  本题是一变质量问题，应用牛顿定律。对于本题，代入就可得（1）式。分别将恒量，恒量，恒量代入可求出不同情况下的解。

2-9  为了汽车能以较高的速度拐弯，往往将公路转弯处筑成具有一定倾斜率的圆弧，如图，如果倾角为，拐弯半径为，汽车和路面的静摩擦系数为，要保证汽车无滑动地沿圆弧匀速率转弯允许的汽车速度范围是多少？

分析  汽车沿斜面方向受静摩擦力作用，静摩擦力方向与汽车速度有关，摩擦力可能沿斜面而上，也可能沿斜面向下，摩擦力的水平分力与支撑力的水平分力的合力提供了汽车转弯所需的向心力，其大小则受到最大静摩擦力的限制。因此汽车运动速度大小的范围由结合其方向限定。

解  分析汽车受力知，汽车受重力，路面的支撑力 N及摩擦力。当摩擦力沿斜面向下达到最大静摩擦力时，对应车速最大，此时

解以上方程组得

当摩擦力沿斜面向上达到最大静摩擦力时，对应车速最小，此时

解以上方程组得

所以，汽车拐弯时的速度范围是

说明  解本题的关键在于对各种不同情况作具体分析。当摩擦力沿斜面向下，且达到最大静摩擦力，即时，对应车速最大，此时列牛顿方程即可求最大速度。对车速的最小值同样可分析求解。

2-10  质量为m的小环套在半径为的光滑大圆环上，后者在水平面内以匀角速度绕其上一点转动。试分析小环在大环上运动时的切向加速度和所受约束力。

分析  在随大环一起转动的动参考系中求解本题。在此转动参考系中，除要考虑小环受大环约束力外，还要考虑惯性离心力及科里奥利力，由此建立切向、法向方向牛顿定律方程即可求解本题。

解  如图所示，为小环所在位置，为大环的圆心。以直径为极轴。随大环转动的参考系中，共有三个水平力：大环的约束力沿法线方向，惯性离心力，沿方向，大小为。科里奥利力指向圆心，大小为，这里，为小环相对大环的速度（显然是在切线方向上），且。

（1）相对大环的参考系中，沿切向方向有

因而

   

       

此式表明，小环在以为平衡位置来回摆动。

（2）相对大环的参考系中，沿法向方向，有

因此

   

   

   

说明  本题是在非惯性系中求解的牛顿力学题目。此类问题其关键在于在非惯性系内不能直接运用牛顿定律，只要把惯性力（此题的， ）考虑进去，处理问题方法就和惯性系中一样了。

2-11  如图所示，在水平面内有一平台可绕竖直的中心轴以角速度匀角速旋转，在平台内沿半径方向开有两个沟槽，质量为的小球放置在粗糙的沟槽内，球与槽的摩擦系数为；质量为的小球旋转在另一光滑的沟槽内，长度为的细线绕过平台的中心轴，其两端与两球相连，沿平台中心轴是半径可略的细轴，且光滑。球A的位置可用它到中心点的距离表示，试求在稳定情形下的取值范围。

分析  球在径向受细线拉力作用，球在径向受拉力及摩擦力作用，沿径向列牛顿方程。摩擦力方向可沿半径向内，也可向外，其大小在之间。当方向沿半径向内、向外达到最大值时，可对应地确定值的范围。

解  球受绳的拉力，摩擦，球受绳拉力。设沿半径向外为正，对、球由牛顿定律，有

(1)

(2)

由（1）、（2）式解出

(3)

令，由（3）式知，当时，。时，，方向沿半径向外，时，，方向沿半径向内。

球对沟槽的正压力为

球保持稳定的条件为

即

因此小球稳定运动的两个极端位置，分别对应和。

当，由（3）式

解出

是能维持稳定的的最小值。

当，由（3）式

解出

是能维持稳定的的最大值。

即球的位置需在下述范围内才能维持稳定

还应注意到从和的结果可知，在任何角速度下，总存在某个。但为使有意义，即为使，角速度必须满足

特别是当时，，当小于此临界值时，有，即细线拉力小于最大静摩擦力，此时小球仍位于，即仍有能维持稳定。

说明  由、两球构成的系统的稳定位置显然与转速有关。静摩擦力的方向由球的位置和两球的质量比决定，同时受到最大静摩擦力的限制，即，由此条件即可求得的取值范围。