解放军文职招聘考试数学应用讲义

 
一、数学运算概述
１、题型综述：每道题给出一个算术式子或者表达数量关系的一段文字，要求报考者熟练运用加、减、乘、除等基本运算法则，并利用其他基本数学知识，准确迅速地计算或推出结果。
２、运算常用的基本公式
A.计算部分
（１）平方差：
（２）完全平方和：
（３）完全平方差：
（４）立方和：
（５）立方差：
（６）完全立方和：
（７）完全立方差：
（８）等差数列求和：Sn=(a1+an)n/2
（９）等比数列求和：  （q≠1）
B．工程:工作总量=工作效率×工作时间
C.  行程: 路程=速度×时间
D．排列组合:
(1)排列公式：
(2)组合公式：
E. 几何
（１）常用周长公式：
正方形周长
长方形周长
圆形周长
（２）常用面积公式
正方形面积
长方形面积
圆形面积
三角形面积
平行四边形面积
梯形面积
扇形面积
（３）常用表面积公式
正方体表面积
长方体表面积
球表面积
圆柱体表面积
（４）常用体积公式
正方体体积
长方体体积
球的体积
圆柱体体积
圆锥体体积

二、数学运算题型总结
（一）四则运算问题
四则运算主要是利用四则运算法则快速选择答案。常用的方法有：尾数法、凑整法、基准数法、数学公式求解法。

１、尾数法：利用尾数进行速算的方法
知识要点提示：尾数这是数学运算题解答的一个重要方法，即当四个答案全不相同时，
我们可以采用尾数计算法，最后选择出正确答案。
例1  99+1919+9999的个位数字是（    ）。
A．1    B．2    C．3    D．7                      　
解析：答案的尾数各不相同，所以可以采用尾数法。9＋9＋9＝27，所以答案为D。
例2  请计算（1.1）2 +（1.2）2 +（1.3）2 +（1.4）2 值是：
A．5.04  B．5.49  C．6.06  D．6.30　
解析：（1.1）2 的尾数为1，（1.2）2 的尾数为4，（1.3）2 的尾数为9，（1.4）2
的尾数为6，所以最后和的尾数为1＋3＋9＋6的和的尾数即0，所以选择D答案。
例3  3×999+8×99+4×9+8+7的值是：
A．3840    B．3855    C．3866    D．3877       　
解析：运用尾数法。尾数和为7+2＋6＋8＋7=30，所以正确答案为A。

【题４】19991998的末位数字是（   ）
A.1        B.3        C.7         D.9
解析：考虑9 n, ,当n是奇数是，尾数是9，当n是偶数是，尾数是１，所以正确答案为A
２、凑整法
知识要点提示：在计算过程中，凑“10”、“100”、“1000”等凑整方法非常见。而实际上，“凑整”不仅仅是凑成一个整百、整千的数，更重要的是，凑成一个“我们需要的数”。比如：凑“7”法、凑“3”法与凑“9”法。
【例】2035÷43×602÷37÷14的值等于（　 ）　　A．11B．55C．110D．220
【解析】2035÷37＝55，602＝43×14，所以答案是55，选B。
３、基准数法
所谓“基准数法”，就是将彼此接近的数相加时，可选择其中一个数作为基准数，再找出每个数与这个基准数的差，大于基准数的差作为加数，小于基准数的差作为减数，把这些差累计起来，用合适的项数乘以基准数，加上累计差，就可算出结果。
【例】１９６２+１９７３+１９８１+１９９４+２００５＝（　）
A.９９１０        B. ９９１５        C. ９９２０        D. ９９２５
【解析】以１９８１为基准数，那么
（１９８１－１９）+（１９８１－８）+１９８１+（１９８１+１３）+（１９８１+２４）＝５*１９８１+２４+１３－８－１９＝９９１５　所以选B

４、数学公式求解法
数学公式求解法是利用两数和、差平方公式、两数平方差公式以及两数立方的和、差公式求解式子。
【例】３３２+９－１９８＝（　）
A.900    B.90   C.100.   D.1000
     【解析】３３２+９－１９８＝３３２－２*３３*３+３３＝（３３－３）２＝９００

（二）大小问题
核心知识要点：
1．作差法：对任意两数a、b，如果a－b﹥0则a﹥b；如果a－b﹤0则a﹤b；如果a－b＝0则a＝b。
2．作比法：当a、b为任意两正数时，如果a/b﹥1则a﹥b；如果a/b﹤1则a﹤b；如果a/b＝1则a＝b。当a、b为任意两负数时，如果a/b﹥1则a﹤b；如果a/b﹤1则a﹥b；如果a/b＝1则a＝b。
3．中间值法：对任意两数a、b，当很难直接用作差法或者作比法比较大小时，我们通常选取中间值c，如果a﹥c而c﹥b，则我们说a﹥b。
【例1 】 分数、、、、中最大的一个是：
A．    B．    C．    D．        
【解析】选用中间值法。取中间值和原式的各个分数进行比较，我们可以发现：
－＝；－＝；－＝；－＝；－＝－
通过一个各个分数与中间值的比较，我们可得比大，其余分数都比小，
所以，最大，正确答案为D。
【例2】比较大小：
    A．a<b   B．a>b   C．a=b   D．无法确定性        
解析：选用作比法。
＝＝＝＝＝＝﹥1
所以， ,选择A。
【例3 】 π，3.14，，10/3四个数的大小顺序是：    
A．10/3﹥π﹥﹥3.14   B．10/3﹥π﹥3.14﹥
C．10/3﹥﹥π﹥3.14   D．10/3﹥3.14﹥π﹥
【解析】显然可知10/3﹥π﹥3.14，所以此题的关键是比较和10/3的大小以及和π的大小。
首先观察和10/3是两个正数，可以运用作比法也可以运用作差法，但显然作差法不宜判断，故选用作比法，/10/3﹤1。
对于和π的大小比较，我们选取中间值3.15，显然3.15﹥π而 （3.15）2 ＝9.9225﹤10，所以3.15﹤，由此可知﹥π，由此可知10/3﹥﹥π﹥3.14，故选C。

（三）工程问题
工程问题是从分率的角度研究工作总量、工作时间和工作效率三个量之间的关系，它们有如下关系：工作效率×工作时间=工作总量；工作总量÷工作效率=工作时间；工作总量÷工作时间=工作效率。
1．深刻理解、正确分析相关概念。
对于工程问题，要深刻理解工作总量、工作时间、工作效率，简称工总、工时、工效。通常工作总量的具体数值是无关紧要的，一般利用它不变的特点，把它看作单位“1”；工作时间是指完成工作总量所需的时间；工作效率是指单位时间内完成的工作量，即用单位时间内完成工作总量的几分之一或几分之几来表示工作效率。
分析工程问题数量关系时，运用画示意图、线段图等方法，正确分析、弄请题目中哪个量是工作总量、工作时间和工作效率。
2．抓住基本数量关系。
解题时，要抓住工程问题的基本数量关系：工作总量=工作效率×工作时间，灵活地运用这一数量关系提高解题能力。这是解工程问题的核心数量关系。
3．以工作效率为突破口。
工作效率是解答工程问题的要点，解题时往往要求出一个人一天（或一个小时）的工作量，即工作效率（修路的长度、加工的零件数等）。如果能直接求出工作效率，再解答其他问题就较容易，如果不能直接求出工作效率，就要仔细分析单独或合作的情况，想方设法求出单独做的工作效率或合作的工作效率。
工程问题中常出现单独做、几人合作或轮流做的情况，分析时要梳理、理顺工作过程，抓住完成工作的几个过程或几种变化，通过对应工作的每一阶段的工作量、工作时间来确定单独做或合作的工作效率。也常常将问题转化为由甲（或乙）完成全部工程（工作）的情况，使问题得到解决
要抓住题目中总的工作时间比、工作效率比、工作量比，及抓住隐蔽的条件来确定工作效率，或者确定工作效率之间的关系。
总之，单独的工作效率或合作的工作效率是解答工程问题的关键。　　工程问题是历年多省公务员联合考试、国家公务员考试的重点，是近年来考试中最重要、最常考的重点题型之一，需要考生重点掌握。工程类问题涉及到 的公式只有一个：工作量=时间×效率，所有的考题围绕此公式展开。近年来，工程问题的难度有所上升，然而其解题步骤仍然较为固定，一般而言分为3步： （1）设工作总量为常数（完成工作所需时间的最小公倍数）；（2）求效率；（3）求题目所问。即使是较为复杂的工程问题，运用这一解题步骤也可解出。
一、同时合作型
例1、同时打开游泳池的A,B两个进水管，加满水需1小时30分钟，且A管比B管多进水180立方米，若单独打开A管，加满水需2小时40分钟，则B管每分钟进水多少立方米？（2011年国家公务员考试行测试卷第77题）
A、6　　B、7　　C、8　　D、9
答案：B　解析：套用工程类问题的解题步骤：
（1）设工作总量为完成工作所需时间的最小公倍数，A、B管加满水需要90分钟，A管加满水需160分钟，因此把水量设为1440份。
（2）分别求出A、B工作效率：A、B管每分钟进水量=16份，A每分钟进水量=9份，因此B每分钟进水量=7份。
（3）求题目所问。由于B效率为7份，因此B管每分钟的进水量必定是7的倍数，四个选项，只有B选项是7的倍数，因此可直接选出B选项。
点睛：同时合作型题是历年考试中常考的工程类问题之一，近年难度有所增加。这道题目中，涉及到了具体的量"Ａ管比Ｂ管多进水180立方米"，因此不能把工作量设为一个简单的常数，而必须把其设为份数。
二、交替合作型
例2、一条隧道，甲用20天的时间可以挖完，乙用10天的时间可以挖完，现在按照甲挖一天，乙再接替甲挖一天，然后甲再接替乙挖一天…如此循环，挖完整个隧道需要多少天?（2009年国家公务员考试行测试卷第110题）
A、14　　B、16　　C、15　　D、13
答案：A　解析：套用工程类问题的解题步骤：
（1）设工作总量为完成工作所需时间的最小公倍数，甲、乙完成工作各需20天、10天，因此设工作总量为20。
（2）分别求出甲、乙工作效率：甲效率=1，乙效率=2。
（3）求题目所问。题目要求让甲、乙轮流挖，一个循环（甲乙两人各挖1天）共完成工作量1＋2＝3。如此6个循环后可以完成工作量18，还剩余2，需要甲挖1天，乙挖半天。因此一共需要时间6×2+1+1=14（天）。
点睛："交替合作型"工程问题，是最新考察的重点题型，在09年的国考和10年的联考中有所考察，也是考生易错的难点题型。由于合作的"交替性"，不能简单的使用基础公式进行计算，而特别需要注意工作的"一个周期"所需要的时间。
三、两项工程型
例3、甲、乙、丙三个工程队的效率比为6：5：4，现将A、B两项工作量相同的工程交给这三个工程队，甲队负责A工程，乙队负责B工程，丙队参与A工程若干天后转而参与B工程。两项工程同时开工，耗时16天同时结束，问丙队在A工程中参与施工多少天？
A、6　　B、7　　C、8　　D、9
答案：A　解析：由于这道题直接告诉了甲、乙、丙的效率比，因此直接设甲、乙、丙的效率比为6、5、4，设丙在A工程工作x天，则有方程6×16+4x=5×16+4（16-x），求出x=6。
点睛：解题步骤第一步"设工作总量为常数"，实际上就是为了求效率，而此题直接告知了效率，因此可以跳过第一步。
工程问题一直是考试的重点之一，需要考生重点掌握。解题步骤仍然较为固定，一般而言分为3步：（1）设工作总量为常数；（2）求效率；（3）求题目所问。即使是较为复杂的工程问题，运用这一解题步骤也可解出。

（四）比例问题
比例问题是数量关系模块中常出现的一类考题，其出题范围可涉及到时间、行程、工程、浓度、利润等变量。绝大多数比例问题都有明显的特征，以及适用的解题技巧。其解题的方式以列比例式和赋值居多。
一、比例问题的特征：
1、 题目中多出现比号，即“：”;
2、 题目中多出现“占XX的M分之N”;
3、 题目中多出现“每……多(快)……”。
 
二、比例问题的解决方法
1、列比例式
【例题】：手表比闹钟每小时快30秒，而闹钟比石英钟每小时慢30秒，8点钟时将三者都对准8点，石英钟12点时，手表显示的时间是几点几分几秒?
A.12点 B.11点59分59秒
C.11点59分30秒 D.12点30秒
【答案】 B
【解析】 该题目的解决方法即为典型的列比例式。通过题目中的条件寻找出相关的比例关系即可得出答案。
石英钟走1小时=3600秒
此时闹钟走3600-30=3570秒
石英钟走了4个小时，
3600 : 3570=3600×4 : 3570×4 闹钟就应该走了3570*4=14280秒
闹钟走1小时=3600秒
此时手表走3600+30=3630
闹钟走了14280
3600 : 3630=14280 : X
手表就应该走了(14280/3600)*3630=14399秒=3小时59分59秒
因此答案应为11点59分59秒

　2、赋值法
【例题】 一队和二队两个施工队的人数之比为3：4，每人工作效率比为5：4。两队同时分别接受两项工作量与条件完全相同的工程，结果二队比一队早完工9天。后来由一队工人的2/3与二队工人的1/3组成新一队，其余的工人组成新二队。两支新队又同时分别接受两项工程工作量与条件相同的工程，结果新二队比新一队早完工6天。那么前后两次工程的工作量之比是多少?
A. 1：1 B. 162：55
C. 540：1081 D. 1：2
【答案】 C
【解析】 工作效率(即单位时间工作量)=人数*每个人工作效率
原来一，二队工作效率分别为3*5=15;4*4=16
设第一次工作量为x
(x/15)-(x/16)=9
x=2160
新一，二队工作效率分别为2*5+4*4/3=46/3;1*5+4*4*2/3=47/3
设第二次工作量为y
[y/(46/3)]-[(y/(47/3)]=6
y=4324
x:y=540:1081
该题目涉及到两个比例，人数以及工作效率，由于第二次分队出现了2/3和1/3，若将人数赋值为9：12，两次工程量乘法的运算往在最后进行，则可以降低题目的运算时间。
 
从历年公务员考试出题趋势来看，无论是国考还是省考，对于数量关系比例问题的考查越来越多，虽然有时不是典型的比例问题，但却穿插在很多题目当中，我们在做题练习中需要对这一类题目给予重视。

（五）浓度问题
浓度问题
http://www.kuxue.com2011-09-02 15:47:40出处：
浓度问题是初中的时候就学到的知识，公务员行政能力测试的浓度问题一般的解法有以下几种：
根据溶质的量不变，列方程
根据混合前两种溶液的浓度和溶液量进行十字相乘法
特殊值法
甲杯中有浓度17%的溶液400克，乙杯中有浓度为23%的同种溶液600克，现在从甲，乙取出相同质量的溶液，把甲杯取出的倒入乙杯中，把乙杯取出的倒入甲杯中，使甲，乙两杯溶液的浓度相同，问现在两溶液浓度是多少?( )
----------------------------------
解法一：
17 23-x 400 2
x
23 x-17 600 3
2x-34=69-3x x=20.6
解法二：假设他们全部混合
(17%*400+23%*600)/(400+600)=20.6%
现有一种预防禽流感药物配置成的甲,乙两种不同浓度的消毒溶液.若从甲中取2100克,乙中取700克混合而成的消毒溶液的浓度为3%; 若从甲中取900克,乙中取2700克.则混合而成的消毒溶液的浓度为5%. 则甲,乙两种消毒溶液的浓度分别为( )
A 3% 6% B 3% 4% C 2% 6% D 4% 6%
----------------------------------------
解法一：根据溶质不变，解二元一次方程组
2100*a+700*b=2800*0.03
900*a+2700*b=2800*0.03
0.02
0.06
解法二：
第一次混合后浓度为3%，所以一种小于3%，一种大于3%
第二次混合后浓度为5%，所以一种小于5%，一种大于5%
所以有，一种大于5%，一种小于3%。直接秒C了
甲，乙两种含金样品熔成合金，如甲的重量是乙的一半，得到含金68%的合金;如甲的重量是乙的3.5倍，得到含金62 2/3%的合金。则乙的含金百分数为多少?
A.72% B.64% C.60% D.56%
---------------------------------------
据题中“如甲的重量是乙的一半，得到含金68%的合金;如甲的重量是乙的3.5倍，得到含金62 2/3%的合金。”可以看出，乙的重量所占比例要是高，则合金的含金量高，乙的重量所占比例低，则合金的含金量低，由此可以判断出，乙的含金量大于甲的含金量。
又因为，有一块合金的含金量为68%，所以必定甲乙一个大于68%，一个小于68%。根据上一段的结论，则推出，乙的含金量一定大于68%，则只有A答案
每次加同样多的水，第一次加水浓度15%，第二次加浓度12%，第三次加浓度为多
少?A.8% B.9% C.10% D.11%
因为溶质质量始终不会改变的，所以设盐水有60克的盐(15跟12的最小公倍数) 则第一次加水后溶液是60/0.15=400克，第二次加水后溶液是60/0.12=500克， 所以可知是加了100克水，第三次加水后浓度是60/(500+100)=0.1，也就是10%，选C。
一种溶液，蒸发掉一定量的水后，溶液的浓度变为10%，再蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度变为12%，第三次蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度将变为多少?( ) A. 14% B. 17% C. 16% D. 15%
解：设溶质盐是60(10，12最小公倍数)，所以第一次蒸发后溶液是60/0.1=600，
第二次60/0.12=500，所以每次蒸发600-500=100的水，
则第三次蒸发后浓度是60/(500-100)=0.15，选D
三种溶液混合的情况
把浓度为20%、30%、50%的某溶液混合在一起，得到浓度为36%的溶液50升。已知浓度为30%的溶液用量是浓度为20%溶液的2倍，浓度为30%的溶液的用量是多少升?
A 18 B 8 C10 D20
---------------------------------------------
十字交叉适合2个东西或者多个东西容易分两组的,这里虽然能将20%和30%并入到26.7%,好象还是有点麻烦
26.7% 14
36%
50% 9.3
得出比值为 3 : 2
所以30%浓度的溶液为 (50*3/5)*2/3=20
A,B,C为三种酒精溶液。按质量比2：6：1混合，质量分数为30%;4：5：1混合时，为28%;6：1：1混合时，为25%。现缺少C种溶液，需要配置大量28%的溶液需要A和B的质量比是
A1：2 B1：3 C1：4 D1：5
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解法一：(最好理解的做法)
2A+6B+C=9*0.3(1)
6A+1B+C=10*0.25(2)
4A+5B+C=10*0.28(3)
(1)-(2)得5B-4A=0.7(4)
(3)-(1)得2A-B=0.1(5)
(4)+(5)×5，得A=0.2，B=0.3
A:0.2 0.2 1
0.28 ---- == -----
B:0.3 0.8 4
A:B=(0.3-0.28)：(0.28-0.2)=1：4。
所以AB的质量比是1：4
解法二：
30 3 --36-----8，24，4
28
25 2 --24-----18，3，3
所以26：27：7的比例就能配置出28%的溶液，

（六）行程问题
行程问题的“三要素”路程、速度、时间。问题千变万化，归根结底就是这三者之间的变化。行测问题细分来看有四大类：一是相遇问题；二是追及问题；三是流水问题；四是相关问题。
1、相遇问题：
相遇问题是行程问题的一种典型应用题,也是相向运动的问题.无论是走路,行车还是物体的移动,总是要涉及到三个量--------路程、速度、时间。相遇问题的核心就是速度和。
路程、速度、时间三者之间的数量关系,不仅可以表示成:
路程= 速度×时间,还可以变形成下两个关系式:速度= 路程÷时间, 时间= 路程÷速度.
一般的相遇问题: 甲从A地到B地,乙从B地到A地,然后两人在A地到B地之的某处相遇,实质上是甲,乙两人一起了AB这段路程,如果两人同时出发,那有:
(1) 甲走的路程+乙走的路程= 全程
(2) 全程= (甲的速度+乙的速度) ×相遇时间= 速度和×相遇时间
例1:甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。如果两人都按原定速度行进，那么4小时相遇；现在两人都比原计划每小时少走1千米，那么5小时相遇。A、B两地相距多少千米？
【分析】设原来速度和为X　，则减速后的速度和为X－２，则，X*4=(X-2)*５,解得：X＝10,从而知A、B两地相距为：X*4＝５*４＝２０
2:追及问题：两个速度不同的人或车，慢的先行（领先）一段，然后快的去追，经过一段时间快的追上慢的。这样的问题一般称为追及问题。有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题，因为这两种情况都满足速度差×时间=追及（或领先的）路程。追及问题的核心就是速度差。
例：甲、乙两人联系跑步，若让乙先跑12米，则甲经6秒追上乙，若乙比甲先跑2秒，则甲要5秒追上乙，如果乙先跑9秒，甲再追乙，那么10秒后，两人相距多少米？
A.15   B.20   C.25   D.30
【答案】C。解析：甲乙的速度差为12÷6=2米/秒，则乙的速度为2×5÷2=5米/秒，如果乙先跑9秒，甲再追乙，那么10秒后，两人相距5×9－2×10=25米。
    3、流水问题。
船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到.此外，流水行船问题还有以下两个基本公式：
顺水速度=船速+水速，（1）
逆水速度=船速-水速.（2）
这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速，是指水在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。
根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到：
水速=顺水速度-船速，
船速=顺水速度-水速。
由公式（2）可以得到：
水速=船速-逆水速度，
船速=逆水速度+水速。
这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量。
另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2），相加和相减就可以得到：
船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，
水速=（顺水速度-逆水速度）÷2。

例1 甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。
分析 根据题意，要想求出船速和水速，需要按上面的基本数量关系先求出顺水速度和逆水速度，而顺水速度和逆水速度可按行程问题的一般数量关系，用路程分别除以顺水、逆水所行时间求出。
解：
顺水速度：208÷8=26（千米/小时）
逆水速度：208÷13=16（千米/小时）
船速：（26+16）÷2=21（千米/小时）
水速：（26—16）÷2=5（千米/小时）
答：船在静水中的速度为每小时21千米，水流速度每小时5千米。

例2 某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，水速每小时3千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？
分析 要想求从乙地返回甲地需要多少时间，只要分别求出甲、乙两地之间的路程和逆水速度。
解：
从甲地到乙地，顺水速度：15+3=18（千米/小时），
甲乙两地路程：18×8=144（千米），
从乙地到甲地的逆水速度：15—3=12（千米/小时），
返回时逆行用的时间：144÷12＝12（小时）。
答：从乙地返回甲地需要12小时。

例3 甲、乙两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时.现在有一机帆船，静水中速度是每小时12千米，这机帆船往返两港要多少小时？
分析 要求帆船往返两港的时间，就要先求出水速.由题意可以知道，轮船逆流航行与顺流航行的时间和与时间差分别是35小时与5小时，用和差问题解法可以求出逆流航行和顺流航行的时间.并能进一步求出轮船的逆流速度和顺流速度.在此基础上再用和差问题解法求出水速。
解：设轮船顺流航行X,逆流航行Y,则x+y=35;x-y=5
轮船逆流航行的时间：（35+5）÷2=20（小时），
顺流航行的时间：（35—5）÷2=15（小时），
轮船逆流速度：360÷20=18（千米/小时），
顺流速度：360÷15=24（千米/小时），
水速：（24—18）÷2=3（千米/小时），
帆船的顺流速度：12＋3＝15（千米/小时），
帆船的逆水速度：12—3=9（千米/小时），
帆船往返两港所用时间：
360÷15＋360÷9＝24+40=64（小时）。

4、相关问题
  例3  商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯级有：
    A．80级    B．100级    C．120级    D．140级          （2005年中央真题）
    解析：这是一个典型的行程问题的变型，总路程为“扶梯静止时可看到的扶梯级”，速度为“男孩或女孩每个单位向上运动的级数”，如果设电梯匀速时的速度为X，则可列方程如下，
    （X+2）×40=（X+3/2）×50
    解得 X=0.5  也即扶梯静止时可看到的扶梯级数=（2+0.5）×40=100
所以，答案为B。
 
（七）日期问题

平年与闰年
 判断方法 一共天数 2月
平年 年份不能被4整除 365天 有28天
闰年 年份可以被4整除 366天 有29天                                              
大月与小月
 包括月份 共有天数
大月 一、三、五、七、八、十、腊（十二）月 31天
小月 二、四、六、九、十一月 30天（2月除外）

【例】）某一天节秘书发现办公桌上的台历已经有７天没有翻了，就一次翻了张，这７天的日期加起来，得数恰好是７７，问这一天是几号？
A.1３     B.1４                C.1５                D.1７
解析：因为答案的日期都是十几号，即使加上7天也不会超过28号，所以不存在从月底到月初的情况，
所以我们假设第一天是X，那么可以得出：　x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)+(x+5)+(x+6)=77 　解得：X=8,所以当天的日期为：７+８＝１５
选C
(八)时钟问题。
１、关键问题：
①确定分针与时针的初始位置；
②确定分针与时针的路程差；
２、基本方法：
①分格方法：
时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我们称为1分格。分针每小时走60分格，即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走1／12分格，故分针和时针的速度差为11/12分格/分钟。
②度数方法：
从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针每分钟转360/60度，即6°，时针每分钟转360/12*60度，即0.5度，故分针和时针的角速度差为5.5°/分钟。
【例题1】从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有：
A．1次 B．2次 C．3次 D．4次
【解析】
时针与分针成直角，即时针与分针的角度差为90度或者为270度，理论上讲应为２次，还要验证：
列方程求解：设经过X分钟后两指针成直角，分针速度为１格/分钟，５/６０格/分钟，则
当相差15格时成直角：１５＝X-X*5/60,解得X=16+4/11<60
当相差45格时成直角：4５＝X-X*5/60,解得X=49+1/11 <60
经验证，选B可以。
【例题2】 现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？
解析：2点的时候分针和时针的角度差为60°，而分针和时针的角速度差巍为5.5°/分钟，所以时间为60/5.5=120/11 分。即经过120/11分钟后时针与分针第一次重合。

（九）年龄问题
它的主要特点是：时间发生变化，年龄在增长，但是年龄差始终不变。年龄问题往往是“和差”、“差倍”等问题的综合应用。解题时，我们一定要抓住年龄差不变这个解题要害。
解答年龄问题的公式：
大的年龄＝（两人年龄和+两人年龄差）/2
小的年龄＝（两人年龄和－两人年龄差）/2
已知两人年龄，求几年前或几年后的大的年龄是小的年龄的几倍：
年龄差/（倍数－１）＝成倍时的小年龄
成倍时的小年龄－小的现年龄＝几年后的年数
小的现年龄－成倍时的小年龄＝几年前的年数
已知两人年龄之和及几年后的是小的几倍，求现在两人的年龄各是多少：
几年后的两人年龄和/（倍数+１）＝几年后的小的年龄
几年后的小的年龄－几年后年数＝现在小的年龄
两人年龄和－现在小的年龄＝现在大的年龄
【例】甲对乙说：当我的岁数是你现在岁数时，你才4岁。乙对甲说：当我的岁数到你现在的岁数时，你将有67岁，甲乙现在各有：
A．45岁，26岁 B．46岁，25岁 C．47岁，24岁 D．48岁，23岁 （甲x  乙y  x-y=y-4,67-x=x-y ）
【答案】B。 【解析】甲、乙二人的现在岁数为X和Y则有下列议程组：
Y-4=X-Y
                67-X=X-Y
解得X=46,Y=25

（十）和差倍问题
１、定义：和差倍问题：已知两个数和成差及它们的倍数关系，求这两个数的应用题，叫做和差倍问题。和差倍问题范围很大，所以考查题量较多，题目解答基本简单和差倍的运算，通常用设立未知数列方程求解。
２、主要公式：
（１）和差问题
（和+差）/2=大数　　（和－差）/2=小数
（２）和倍问题
和/(倍数－１)＝小数　　小数*倍数＝大数　　（或　和－小数＝大数）
（３）差倍问题
差/(倍数－１)＝小数　　小数*倍数＝大数　　（或　小数+差＝大数）
例１：三个小组共有180人，一、二两个小组人数之和比第三小组多20人，第一小组比第二小组少2人，求第一小组的人数。
分析：要点：先把一，二小组看成一个整体！把第三小组看成一个整体，我们把这种方法叫“化三为二”即把三个问题转换成二个问题，先求出第一，二小组的人数，再求出第一小组的人数。这也是一个和差问题。
解：（180＋20）÷2＝100（人）——第一，二小组的人数
（100－2）÷2＝49（人）——第一小组的人数
综合：［（180＋20）÷2－2］÷2＝49（人）——第一小组的人数
答：第一小组的人数是49人。
例２：在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于120，而减数是差的3倍，那么差等于多少？
解：设被减数、减数分别为X、Y，则有
X+Y+(X-Y)=120
          Y=3(X-Y)
       由上方程组解得：X=60,Y=45,从而得：X-Y=15
（十一）排列问题
排列组合专题
基本知识点回顾：
1、排列：从N不同元素中，任取M个元素（被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从N个不同元素中取出M个元素的一个排列。
2、组合：从N个不同元素中取出M个元素并成一组，叫做从N个不同元素中取出M个元素的一个组合（不考虑元素顺序）
3、分步计数原理（也称乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法。
4、分类计数原理：完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1+ m2+…+ mn种不同的方法。
5、[例题分析]排列组合思维方法选讲 、
例１：在一张节目表中原有8个节目，若保持原有节目的相对顺序不变，再增加三个节目，求共有多少种安排方法？
解析:这是排列组合的一种方法 叫做2次插空法或多次插空法
直接解答较为麻烦，我们知道8个节目相对位置不动,前后共计9个间隔,故可先用一个节目去插9个空位，有C9取1种方法；这样9个节目就变成了10个间隔,再用另一个节目去插10个空位，有C10取1种方法；同理用最后一个节目去插10个节目形成的11个间隔中的一个，有C11取1方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为9*10*11=990种。
    例2．在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法?
   分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。
以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。
第一类：这两个人都去当钳工，C(2.2)C(5.2)*C(4.4)=10
第二类：这两人有一个去当钳工， C(2.1)*C(5.3)*C(5.4)=100
第三类：这两人都不去当钳工， C(5.4)*C(6.4)=75
因而共有185种。
（十二）植树问题
植树相关问题
核心提示
单边线性 
 
单边环形 
 
单边楼间 
 
双边 单边的基础上乘以2
例1、有一条大街长20米，从路的一端起，每隔4米在路的两侧各种一棵树，则共有多少棵树？（　）
A.5棵　　B.4棵　　C.6棵　　D.12棵
解析：我们看这道例题，这是线性植树问题，套用公式棵数=总长 ÷间隔＋1，即棵数=20 ÷4＋1=6棵，这是路的一侧，那么两侧都应该种上树，所以总共应种6×2=12棵，所以答案选择D选项。
例2、一个四边形广场，它的四边长分别是60米，72米，96米，84米，现在四边上植树，四角需植树，且每两棵树的间隔相等，那么至少要种多少棵树？（　）
A.22棵　　B.25棵　　C.26棵　　D.30棵
解析：题目中的情况属于环形植树问题。每两棵树的间隔相等，那么至少要种多少棵树，就需要使得每两棵树之间的间隔最大就可以了，那么就是要求四边长的一个最大公约数，60,72,96,84的最大公约数是12，那么套用公式棵数=总长 ÷间隔，棵数=（60+72+96+84）÷12=26棵，所以选择C选项。
例3、两棵杨树相隔165米，中间原本没有任何树，现在在这两个树之间等距离种植32棵桃树，第1棵桃树到第20棵桃树之间的距离是多少米？（　）
A.90　　B.95棵　　C.100棵　　D.ABC都不对
解析：题目中的情况属于楼间植树问题。总长为165米，总共种了32棵桃树，那么可以求出每两棵桃树之间的间隔，套用公式棵数=总长 ÷间隔－1，32=165÷间隔－1，间隔=5米，那么第1棵桃树到第20棵桃树之间总共包括19个间隔，所以距离为19×5=95米，所以答案选择B选项。
通过上面三道例题分别讲述了线性植树、环形植树以及楼间植树问题的解法，基本套用公式，分清情况就可以很迅速的作答了。希望通过练习，可以帮助考生把植树问题的解题思路理清，以后再碰到这类问题就不会再花费大量的时间了。
（十三）盈亏与利润问题
１、主要公式：
(盈+亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数
(大盈-小盈)÷两次分配量之差=参加分配的份数
(大亏-小亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数
利润与折扣问题
利润=售出价-成本
利润率=利润÷成本×100%=(售出价÷成本-1)×100%
涨跌金额=本金×涨跌百分比
折扣=实际售价÷原售价×100%(折扣<1)
利息=本金×利率×时间
税后利息=本金×利率×时间×(1-20%)
【2004江苏真题】某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以135元出售，若按成本计算，其中一件盈利25％，另一件亏本25％，则他在这次买卖中（ ）。
A.不赔不赚
B.赚9元
C.赔18元
D.赚18元
【解析】按照常规的解题方法，我们是这样解答此题的：
盈利25％的这件上衣，进价为135÷（1+25％）＝108（元），
亏本25％的上衣的亏本数额是135÷（1-25％）＝180（元），
总进价为108+180=288（元），而现在总的售价为135×2=270（元），亏损了288-270＝18（元）。故选择C答案。
【博大考神技巧】凡是出售两件商品，一件赚了a％，一件亏了a％，那么最后的盈亏情况总是亏损了的。如果知道了这一规律就可以直接选择C答案了。在这类题里，两件商品盈利、亏损相同的百分数后，最后的售价相同，那么算出这两件商品的成本价总是高于最后的售价。也就是最后卖出后总是亏损的。
我们再举一例：
【2009四川特岗教师真题】有人用1200元进行投资，第一次亏损10％，再用剩余的钱继续交易，又赚了10％，则此人手中还剩下（ ）钱。
A.1200元
B.1212元
C.1188元
D.1224元
【解析】常规方法这样解答：
第一次亏损10％后剩下的钱为1200×（1-10％）；第二次赚了10％，是在第一次亏损后剩下的钱的基础上赚的10％，因此剩下的钱为1200×（1-10％）×（1+10%）=1200×0.9×1.1=1188，因此答案为C。
【博大考神技巧】这道题和上面的例子是异曲同工的。第一次亏损10%，第二次又赚了10%，那么最后还是亏损了的。只有C答案符合。不论是先亏损后盈利，或者是先盈利后亏损，最终的结果都是亏损的。
【小贴士】博大考神公务员考试研究中心行测资深专家杨金珏提示：这类利润问题有个典型的特点，就是都有两件商品出售，或者是一件商品连续出售两次，并且盈亏的百分数都是相同的，那么最后的情况总是亏损的。同学们以后遇到此类题就可以直接选出答案了。

（十三）几何问题
面积基本公式：（1）三角形的面积S＝1/2ah   （2）长方形的面积S＝a×b 
（3）正方形的面积S＝a2            （4）梯形的面积S＝(a+b)/2×h
（5）圆的面积=πr2＝1/4πd2
 （1）等底等高的两个三角形面积相同；
（2）等底的两个三角形面积之比等于高之比；
（3）等高的两个三角形面积之比等于底之比。
解决面积问题的核心是“割、补”思维，即当我们看到一个关于求解面积的问题，不要立刻套用公式去求解，这样做很可能走入误区，最后无法求解或不能快速求解。对于此类问题通常的使用的方法就是“辅助线法”即通过引入新的辅助线将图形分割或者补全为很容易得到的规则图形，从而快速求得面积。
体积基本公式：(1)长方体的体积V＝abc   (2)正方体的体积V＝a3
(3)圆柱的体积V＝Sh ＝ πr2， S为圆柱底面积。
(4)圆锥的体积V＝1/3Sh ＝1/3πr2h ，S为圆锥底面积。
周长基本公式：（1）长方形的周长C＝(a＋b)×2
（2）正方形的周长C＝a×4  （3）圆的周长C＝2πr ＝πd

几何问题一般涉及几何图形的周长、面积、角度、表面积与体积，一般来说，对于规则图形的这些量都有现成的公式，因此，掌握基本公式是解决规则图形几何问题的关键。
等比例放缩特性：
一个几何图形其尺度变为原来的m倍，则：
对应角度不发生改变;
对应长度变为原来的m倍;
对应面积变为原来的m2倍;
对应体积变为原来的m3倍。
几何最值理论：
平面图形中，若周长一定，越接近于圆，面积越大;
平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小;
立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大;
立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小。
三角形边长理论：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
(一)平面几何问题
平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C=4a;S=a2长方形a和b—边长C=2(a+b);S=ab三角形a,b,c—三边长;h—a边上的高S=ah/2四边形d,D—对角线长;α—对角线夹角S=dD/2·sinα平行四边形a,b—边长;h—a边的高;α—两边夹角S=ah=absinα梯形a和b—上、下底长;h—高;m—中位线长S=(a+b)h/2=mh圆r—半径;d—直径C=πd=2πr;S=πr2=πd2/4扇形r—扇形半径;a—圆心角度数C=2r+2πr×(a/360);S=πr2×(a/360)
【例1】 (2010·上半年联考—91)一个正三角形和一个正六边形周长相等，则正六边形面积为正三角形的()。
A. 2倍 B. 1.5倍C. 3倍 D. 2倍
【答案】 B
【解析】 因为正三角形和一个正六边形周长相等，所以假设周长为6，六边形的边长为1，三角形的边长为2;正六边形可以分成6个边长为1的小正三角形，边长为2的正三角形可以分成4个边长为1的小正三角形。所以正六边形面积∶正三角形的面积=6∶4=1.5。
【例2】(2010·下半年联考—34)长方形ABCD的面积是72平方厘米，E、F分别是CD、BC的中点。问三角形AEF的面积为多少平方厘米?()
A. 24B. 27C. 36D. 40
【答案】 B
【解析】 从图中可以看出：S△AFB=14S矩形ABCD，S△EFC=18S矩形ABCD，S△AED=14S矩形ABCD，故S△AEF的面积为=(1-14-18-14)S矩形ABCD=38S矩形ABCD=27(平方厘米)。
【例3】已知一直角三角形的一个直角边长为12，且周长比面积的数值小18，则该三角形的面积是()。
A. 20B. 36C. 54D. 96
【答案】 C
【解析】 设另一直角边长为x，斜边长为y，则周长为x+y+12，面积为12×12x=6x，根据面积比周长大18，得出6x-18=x+y+12，而122+x2=y2，算出x=9，6x=54 。
(二)立体几何问题
立方图形名称符号表面积S和体积V正方体a—边长S=6a2;V=a3长方体a—长;b—宽;c—高S=2(ab+ac+bc);V=abc棱柱S—底面积;h—高V=Sh棱锥S—底面积;h—高V=Sh/3圆柱r—底半径;h—高;C—底面周长;S底—底面积;S侧—侧面积;S表—表面积C=2πr;S底=πr2;S侧=Ch;S表=Ch+2S底;
V=S底h=πr2h圆锥r—底半径;h—高V=πr2h/3圆台r—上底半径;R—下底半径;h—高V=πh(R2+Rr+r2)/3球r—半径;d—直径V=4/3πr3=πd2/6
【例1】(2010·上半年联考—97)将边长为1的正方体一刀切割为2个多面体，其表面积之和最大为()。
A. 6+22B. 6+23C. 6+2D. 6+3
【答案】 A
【解析】 原正方体表面积为6，若使切割后两个多面体表面积之和最大，切割方式如下图所示：
切割后两个多面体的表面积之和为6+22。正确答案为A项。
【例2】将一个表面积为36平方米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼成一个大长方体，则大长方体的表面积是()。
A. 24平方米B. 30平方米
C. 36平方米D. 42平方米
【答案】 D
【解析】 正方体表面积为36平方米，则其边长为6米，拼成的大长方体的三条边长分别为26米、6米、62米，故解得其表面积为42平方米，选D。
【名师技巧点拨】 此题通过计算能得出答案，但稍加分析题意，即可知将原正方体等分并重新组合后，表面积比原来增大了，而选项中只有D符合，故可迅速选出D。
【例3】正四面体的棱长增加20%，则表面积增加()。
A. 20%B. 15%C. 44%D. 40%
【答案】 C
【解析】 设原正四面体的棱长为1，则新四面体的棱长为1.2，原、新四面体表面积之比为1∶1.44，则其表面积增加44%。