2019年成人高考《数学（文）》章节难点习题(6)

●歼灭难点训练

　　一、选择题

　　1.(★★★★)函数y=x2+ (x≤- )的值域是( )

　　A.(-∞,- B.[- ,+∞ C.[ ,+∞ D.(-∞,- ]

　　2.(★★★★)函数y=x+ 的值域是( )

　　A.(-∞,1 B.(-∞,-1 C.R D.[1,+∞ 二、填空题

　　3.(★★★★★)一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于( )2千米 ，那么这批物资全部运到B市，最快需要_________小时(不计货车的车身长).

　　4.(★★★★★)设x1、x2为方程4x2-4mx+m+2=0的两个实根，当m=_________时，x12+x22有最小值_________.

　　三、解答题

　　5.(★★★★★)某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)=5x- x2(万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位：百台)

　　(1)把利润表示为年产量的函数;

　　(2)年产量多少时，企业所得的利润最大?

　　(3)年产量多少时，企业才不亏本?

　　6.(★★★★)已知函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1]

　　(1)若f(x)的定义域为(-∞,+∞)，求实数a的取值范围;

　　(2)若f(x)的值域为(-∞,+∞),求实数a的取值范围.

　　7.(★★★★★)某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台.已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表：

2017年成人高考《数学（文）》章节难点习题(6)




　　家电名称空调器彩电冰箱

　　工时

　　产值(千元)432

　　问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高?最高产值是多少?(以千元为单位)

　　8.(★★★★)在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB所在直线为轴将△ABC旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为S1，△ABC的内切圆面积为S2，记 =x.

　　(1)求函数f(x)= 的解析式并求f(x)的定义域.

　　(2)求函数f(x)的最小值.

　　参考答案

　　难点磁场

　　(1)证明：先将f(x)变形：f(x)=log3[(x-2m)2+m+ ],

　　当m∈M时，m>1,∴(x-m)2+m+ >0恒成立，故f(x)的定义域为R.

　　反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x2-4mx+4m2+m+ >0,令Δ<0,即16m2-4(4m2+m+ )<0,解得m>1,故m∈M.

　　(2)解析：设u=x2-4mx+4m2+m+ ,∵y=log3u是增函数，∴当u最小时，f(x)最小.而u=(x-2m)2+m+ ,显然，当x=m时，u取最小值为m+ ,此时f(2m)=log3(m+ )为最小值.

　　(3)证明：当m∈M时，m+ =(m-1)+ +1≥3,当且仅当m=2时等号成立.

　　∴log3(m+ )≥log33=1.

　　歼灭难点训练

　　一、1.解析：∵m1=x2在(-∞,- )上是减函数，m2= 在(-∞,- )上是减函数，

　　∴y=x2+ 在x∈(-∞,- )上为减函数,

　　∴y=x2+ (x≤- )的值域为[- ，+∞ .

　　答案：B

　　2.解析：令 =t(t≥0),则x= .

　　∵y= +t=- (t-1)2+1≤1

　　∴值域为(-∞,1 .

　　答案：A

　　二、3.解析：t= +16×( )2/V= + ≥2 =8.

　　答案：8

　　4.解析：由韦达定理知：x1+x2=m,x1x2= ,∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=m2- =(m- )2- ,又x1,x2为实根，∴Δ≥0.∴m≤-1或m≥2，y=(m- )2- 在区间(-∞,1)上是减函数，在[2，+∞ 上是增函数又抛物线y开口向上且以m= 为对称轴.故m=1时，

　　ymin= .

　　答案：-1 三、5.解：(1)利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R(x)与其总成本C(x)之差，由题意，当x≤5时，产品能全部售出，当x>5时，只能销售500台，所以

　　y= (2)在0≤x≤5时，y=- x2+4.75x-0.5,当x=- =4.75(百台)时，ymax=10.78125(万元)，当x>5(百台)时，y<12-0.25×5=10.75(万元)，

　　所以当生产475台时，利润最大.

　　(3)要使企业不亏本，即要求 解得5≥x≥4.75- ≈0.1(百台)或5

　　6.解：(1)依题意(a2-1)x2+(a+1)x+1>0对一切x∈R恒成立，当a2-1≠0时，其充要条件是 ，

　　∴a<-1或a> .又a=-1时，f(x)=0满足题意，a=1时不合题意.故a≤-1或a>为 所求.

　　(2)依题意只要t=(a2-1)x2+(a+1)x+1能取到(0，+∞)上的任何值，则f(x)的值域为R，故有 ,解得1

　　7.解：设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台，由题意得：

　　x+y+z=360 ①

　　②x>0,y>0,z≥60. ③

　　假定每周总产值为S千元，则S=4x+3y+2z,在限制条件①②③之下，为求目标函数S的最大值，由①②消去z,得y=360-3x. ④

　　将④代入①得：x+(360-3x)+z=360,∴z=2x ⑤

　　∵z≥60,∴x≥30. ⑥

　　再将④⑤代入S中，得S=4x+3(360-3x)+2·2x,即S=-x+1080.由条件⑥及上式知，当x=30时，产值S最大，最大值为S=-30+1080=1050(千元).得x=30分别代入④和⑤得y=360-90=270,z=2×30=60.

　　∴每周应生产空调器30台，彩电270台，冰箱60台，才能使产值最大，最大产值为1050千元.

　　8.解：(1)如图所示：设BC=a,CA=b,AB=c,则斜边AB上的高h= ,

　　∴S1=πah+πbh= ,

　　∴f(x)= ①

　　又

　　代入①消c，得f(x)= .

　　在Rt△ABC中，有a=csinA,b=ccosA(0

　　x= =sinA+cosA= sin(A+ ).∴1

　　(2)f(x)= +6,设t=x-1,则t∈(0, -1),y=2(t+ )+6在(0， -1 上是减函数，∴当x=( -1)+1= 时，f(x)的最小值为6 +8.