2019年成人高考《数学（文）》章节难点解析(7)

难点7 奇偶性与单调性(一)

　　函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.

　　●难点磁场

　　(★★★★)设a>0,f(x)= 是R上的偶函数，(1)求a的值;(2)证明： f(x)在(0，+∞)上是增函数.

　　●案例探究

　　[例1]已知函数f(x)在(-1，1)上有定义，f( )=-1,当且仅当0

　　(1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-1，1)上单调递减.

　　命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★题目.

　　知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.

　　错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.

　　技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=-y是解题关键;对于(2)，判定 的范围是焦点.

　　证明：(1)由f(x)+f(y)=f( ),令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(x)+f(-x)=f( )=f(0)=0.∴f(x)=-f(-x).∴f(x)为奇函数.

　　(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.

　　令0

　　∵00,1-x1x2>0，∴ >0,

　　又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0

　　∴x2-x1<1-x2x1,

　　∴0< <1,由题意知f( )<0，

　　即f(x2)

　　∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.

　　∴f(x)在(-1，1)上为减函数.

　　[例2]设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(-∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)

　　命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.本题属于★★★★★级题目.

　　知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题.

　　错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.

　　技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.

　　解：设0

　　∴f(-x2)

　　∴f(x2)

　　由f(2a2+a+1)3a2-2a+1.解之，得0

　　又a2-3a+1=(a- )2- .

　　∴函数y=( ) 的单调减区间是[ ，+∞]

　　结合0

　　●锦囊妙计

　　本难点所涉及的问题及解决方法主要有：

　　(1)判断函数的奇偶性与单调性

　　若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.

　　若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.

　　同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的“磁场”及“训练”认真体会，用好数与形的统一.

　　复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数.

　　(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.