解放军文职招聘考试代数几何学

 代数几何学

　　代数几何学的对象原来是欧氏平面中的代数曲线以及三维欧氏空间中的代数曲线及曲面，后来推广到高维欧氏空间中的代数方程组所定义的代数簇．从几何上来看，它是解析几何学的延长，在解析几何学中对于二次代数曲线和曲面已有相当完整的结果，从牛顿起着手对三次代数曲线进行分类．18世纪，代数几何学的基本问题是曲线和曲面的交截问题，这在代数学上是消去法问题．随着18世纪末射影几何学的兴起，开始了射影几何方法的研究．这时引进无穷远点及虚点，考虑问题也从实数扩张到复数．德国数学家普吕克(J．Plücker，1801—1868)在 1834年得出平面曲线的普吕克公式，它联系平面代数曲线的阶数、类数、二重切线数、拐点数等等．特别由此证明一切三阶曲线均有几个拐点．1839年他发现四阶曲线有28条二重曲线，其中至多8条是实的．黎曼的函数论方法对代数几何学以极大促进，他把代数曲线作为黎曼面上的函数论来研究，黎曼更引进第一个双有理变换不变量——亏格，开辟了代数几何学新的一章，他和他的学生洛赫(G．Roch，1839—1866)得出黎曼—洛赫定理是代数曲线的基本定理，也是各种推广的出发点．黎曼去世之后，他的成就为各种流派所继承．首先是克莱布什(R．Clebsch， 1833—1872)重新把黎曼用函数论方法得到的结果改写成代数曲线的结果，而他的学生M．诺特(M．Noether，1844—1921)则是代数几何方向的首创者．他在1871年首次证明平面代数曲线的奇点解消定理，1874年和布瑞尔(A．Von Brill，1842—1935)合作，引进线性系的概念，给黎曼—洛赫定理一个代数的证明．1882年M．诺特和哈尔芬(G．Halphen，1844—1889)把他们的工作推广到空间代数曲线上．同年，诺特给出三维射影空间内代数曲线分类的表，戴德金和韦伯开辟了以理想为基础的代数方向，而克罗内克则是以除子为基础．

　　到19世纪中叶，代数曲面只有零散的特殊结果．1849年，萨蒙(G． Salmon，1819—1904)及凯莱证明在没有奇点的三次代数曲面上存在27条直线．一直到1868年克莱布什才从双有理变换观点讨论代数曲面．它定义第一类重积分，并征明其线性独立的最大数目是双有理不变量，称为几何亏格Pg，它与凯莱在1869年由另外途径引进的算术亏格Pa一般并不相等(1871年错玉登H．G．Zeuthen，1839—1920，及诺特在1875年证明其不变性)．从1870年起M．诺特发展了他的思想，他还引进曲面的线性亏格P(1)，并研究曲面上代数曲线得出曲线亏格公式，他还引进例外曲线的概念．从19世纪80年代末起，意大利的代数几何学派继承了M．诺特的几何思想，开始对代数几何学、尤其是代数曲面进行研究．其主要代表人物是卡斯泰努沃(G．Castelnuo-vo，1865—1952)、恩瑞克斯(F．Enriques， 1871—1946)和稍晚的塞梵利(F．Severi，1879—1961)，他们主要的结果是代数曲面的分类．头一个结果是贝尔蒂尼(E．Bertini，1846—1933)在1877年给出的平面对合变换的分类，1893年，卡斯泰努沃解决了吕略特(J.Lüroth，1844—1910)问题，1896年他提出并解决用数值不变量刻划有理曲面的问题，曲线只有唯一数值双有理不变量——亏格，亏格为0是曲线是有理曲线的充分且必要条件，对于曲面则有多种不变量：除了Pg，Pa，P(1)之外还有恩瑞克斯引进的多亏格Pk(k≥2)与曲线的情形不同， Pg＝Pa＝0还不足以保证代数曲面是有理曲面，要保证这点的充分必要条件是Pg＝P2=0．恩瑞克斯给出曲面是直纹曲面(直线与一个亏格为g的曲线的乘积)的充分必要条件是P4＝P6＝0．另外还发现一些特殊的曲面，最主要的是恩瑞克斯六阶曲面和K．曲面．K3曲面的一个特殊情形是库默尔于19世纪60年代引进的具有16个二重点的四阶库默尔曲面．这一切都导致恩瑞克斯在20世纪初一系列论文中对于曲面的分类．1914年，由P12的不同分成四大类．意大利学派这方面的成果总结在1949年出版的恩瑞克斯《代数曲面》(Le superficie algeb- iche)一书中．

　　与意大利学派大约同时的是法国的超越方法，从某种意义上来讲，这是黎曼研究代数曲线观点的直接继续，只不过把单变量代数函数论推广成两个变量代数函数论，即由三个复变量的不可约多项式P(x，y，z)=0定义的代数函数．黎曼研究的黎曼面的拓扑结构及黎曼面上的有理函数及阿贝尔积分都被庞加莱及皮卡推广到代数曲面上，但是代数曲面情形要复杂得多．皮卡在1899年发展了第二类二重积分理论，不过独立的数目与亏格无关．