解放军文职招聘考试微分几何学

 微分几何学

　　微分几何学是随着微积分一起产生的．有了微积分这种有力工具，加上解析几何带来的坐标表示，不难求出给定曲线的切线，曲线的长度，曲线的曲率(弯曲程度的度量)．对于三维空间中的曲面，可以具体求出曲面在一点的切平面，法线，并研究曲面上曲线的一些性质．1827年德国大数学家高斯建立了曲面的“内在”几何学．他用曲线坐标(好像球面上经纬度)来代替三维笛卡儿坐标，证明曲面在一点的全曲率(即高斯曲率，为两个主曲率的乘积)，只依赖于曲面上两点间的无穷小距离平方ds2，与如何把曲面嵌入到三维欧几里得空间的方式无关．黎曼发展了高斯的思想，把几何从二维、三维推广到任意维，把曲线、曲面推广到任意维流形，从而开拓了黎曼几何的新篇章．它的主要工具是张量分析．

　　在黎曼的影响下，德国数学家克里斯托费尔(E.B.Chri-stoffel，1829—1900)把ds2推广成一般的形式∑gijdxidxj，研究在局部坐标变换之下，两个ds2是如何互相变换的．这样他引进了以他名字命名的克里斯托费尔记号Гjki．利用这个记号他能够对于向量场进行微分，即所谓协变微分法．1887年意大利数学家里奇(R．Ricci-Curbastro，1853—1925)定义了张量概念，在克里斯托费尔公式的启发下，定义了张量的一般运算，即协变微分或绝对微分法．有了这个工具，对于黎曼几何的研究对象黎曼流形(即微分流形具有一个指定的正定黎曼度量ds2)，也可以定义类似高斯曲率的量，但这时曲率不是一个数量，而是一个张量，称为曲率张量(或黎曼——克里斯托费尔张量)．如果曲率张量处处相等，则黎曼流形称为常曲率的．非欧双曲几何(罗巴切夫斯基几何)，就是研究曲率＜0的常曲率空间；而非欧椭圆几何，则是研究曲率＞0的常曲率空间．普通欧几里得空间，处处曲率都等于0．

　　20世纪初，微分几何学还与克莱因的变换群观点下的几何学结合起来，形成了射影微分几何学、仿射微分几何学及保形微分几何学．射影微分几何学研究空间中图形的微分几何性质中在射影变换群下不变的那些性质．在达布(J.G.Darboux)的曲面论中已多处看到其萌芽．本世纪初，美国数学家魏尔钦斯基(E．J．Wilczynski，1876—1932)和意大利数学家福比尼(G．Fubini，1876—1943)独自进行了系统的研究，后来E·嘉当、切赫、意大利数学家邦比安尼(E．Bompiani， 1889—1975)均作出重大贡献．相应有仿射微分几何学．对这种几何学，定向闭超曲面的体积是不变量．对于这种几何学，能够应用活动标架法．在这方面作出主要贡献的是德国数学家布拉施克(W．Blasckke，1885—1962)，他特别对曲线、曲面得出大范围性质．布拉施克也对保形微分几何学进行研究．他的《微分几何学讲义》(Vorlesungen über Diferentialgeometrie)(Ⅱ1923，Ⅲ1929)长期以来是这方面标准著作．

　　1901年里奇和他的学生列维—奇维塔(T．Levi-Civita，1873—1941)系统地建立了张量分析的技术，提出求绝对微分不变式的一般问题，并且指出这些与坐标选取无关的量在物理问题与数学问题中肯定是有意义的．20世纪初，张量分析还只是少数数学家手中的工具，而一旦被爱因斯坦用在广义相对论上，不仅物理学家找到理想的数学工具，反过来激发人们对于黎曼几何及张量分析的兴趣，从而极大推动了微分几何学的发展．数学家决不满足于只给物理学家提供工具，他们要走自己的道路，而在这条道路上后来依然不断地为物理学提供工具．

　　由于黎曼几何学在爱因斯坦广义相对论中取得成功，引起了数学家对黎曼几何学的各种推广．芬斯拉(P．Finsler，1894—1970)在他的1918年博士论文中首先把线素ds中的基本张量gij推广，即gij不仅依赖空间中的点而且还依赖该点切向量的方向．因此，由度量得到克里斯托费尔符号不规定联络．于是E．嘉当由一般联络理论定义芬斯拉空间上的联络，不过，它具有三种曲率张量，从而比黎曼空间复杂得多．更一般的道路几何学由美国数学家爱森哈特(L．Eisenhart，1876—1965)及维布伦在1922年提出来，以微分方程定义的道路为空间的基本元素．另外，E·嘉当提出以面积元素为基础的空间，称为嘉当空间，1937年日本数学家河口商次(1902—1984)更提出更一般的高阶线元空间或河口空间．

　　1917年，列维—奇维塔提出平行移动的概念．他的出发点是考虑黎曼流形上两个向量平行的意义，他把向量场X(t)沿曲线Г平行移动定义为X(t)，对曲线的协变微分等于0，由此推出沿着测地线(也就是短程线)，曲线切向量是平行移动的．这样可不必通过ds2得出曲率概念．1918年，外尔注意到平行性是仿射几何的概念，与度量无关，因此从黎曼空间中除去度量性质，只保留平行概念就可以得出更广的几何理论．为此他提出第一个联络的概念——仿射联络，它可以看成是Гjki的变换关系式的推广，但却不依赖于ds2的选取．这样通过联络可以直接引进曲率，而不必籍助于度量．这种几何理论叫仿射联络几何学．其后E．嘉当进一步发展了联络的概念，他在1922年到1923年引进仿射联络、射影联络、保形联络，建立了系统的联络理论．同时，他发展了由达尔布及黎包古尔(A．Ribaucour，1845—1893)发展的“活动标架法”，这成为他发展一般联络理论的工具．

　　20世纪的微分几何学另一个重要发展方向是大范围微分几何学．以前的微分几何学局限于每点临近的范围，只限于描述局部的性质，而对于整个曲面或流形的性质则所知甚少．19世纪末起，许多几何学的研究，涉及局部性质与整体性质的关系：阿达马1898年证明，一个完备的单连通，处处曲率非正的曲面一定同胚于欧氏平面．1899年希尔伯特证明，三维欧氏空间中不存在处处曲率为负的完全曲面而没有奇点，从而指出非欧双曲几何的曲面模型在空间中一定有奇点．德国数学家李伯曼(W．Liebma-nn，1874—1939)在1899年证明三维欧氏空间中完备的正常曲率团曲面一定是球面．

　　测地线为局部性质和整体性质的相互关系提供了另外一个突出的例子．所谓测地线就是曲面上一条距离最短的曲线C，也就是从C上一点P到C上另外一点Q的路径中，如果P和 Q不相距太远的话，沿着C的路径是曲面上所有(P到Q的)可能路径中最短路径．因此，在通常的球面上，每个大圆是一条测地线．几何学家已在许多特殊的曲面上明显指出测地线来．庞加莱首先研究在紧流形上，不同的封闭测地线的存在和数目问题，其后经过美国数学家柏克霍夫、莫尔斯和前苏联数学家刘斯铁尔尼克(Л．А．Люетсрник，1899—1981)，施尼列尔曼和其他人的工作，得到一个一般的存在性定理，这定理断言，在给定的闭凸曲面上至少存在三种不同的简单闭测地线．莫尔斯曾举出一个例子，表明这个结果中的三条是最佳的数字，不能再改进了．克林根柏格(W． Klingenberg，1924—)和其他人把这个结果由曲面推广到高维情形．

　　另一个研究最多的问题是极小曲面问题．1873年普拉托(J．Plateau，1801—1883)的著作《实验和理论流体静力学》出版，他是比利时物理学家，长期以来对肥皂泡进行了大量的研究．他把金属丝圈成各种封闭的曲线形状，浸泡在肥皂水或甘油溶液中．当金属丝圈被拉出来时，在金属丝圈上就张上一层肥皂薄膜．由于表面张力的作用，在同一边界曲线上张成的曲面是所有可能的曲面中面积最小的，在数学上称为极小曲面．所谓普拉图问题就是要证明这样的定理，对于给定任意形状的边界线圈，只假定边界闭曲线是可求长度的(即有一个长度)，那么总存在一个极小曲面．实际上数学家早就考虑过这个问题，拉格朗日在1760年就已经用变分方法推导出极小曲面应该满足的偏微分方程，这是一个二阶的非线性偏微分方程，因此问题就变成解这个方程了．尽管19世纪许多大数学家如魏尔斯特拉斯和施瓦兹等人都对此做出贡献，但一直到1930年这个解的存在性才首先由匈牙利数学家拉多和美国数学家道格拉斯(J．Douglas，1897—1965)所证明，但是，他们的解并不排除曲面可能存在奇点(它们是分支点)．1970年奥斯曼(R．Osserman，1926—)的研究排除掉这种可能性，他证明极小曲面不出现分支点．